2017高考数学一轮复习第八章解析几何第8讲直线与圆锥曲线习题A组基础巩固一、选择题1．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是()A．1B．2C．1或2D．0[答案]A[解析]因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．2．(2015·浙江舟山三模)已知椭圆C的方程为＋＝1(m＞0)，如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为()A．2B．2C．8D．2[答案]B[解析]根据已知条件得c＝，则点(，)在椭圆＋＝1(m＞0)上，∴＋＝1，可得m＝2.3．(2015·四川雅安月考)抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是()A．4B．3C．4D．8[答案]C[解析] y2＝4x，∴F(1,0)，l：x＝－1，过焦点F且斜率为的直线l1：y＝(x－1)，与y2＝4x联立，解得A(3，2)，∴AK＝4，∴S△AKF＝×4×2＝4.4．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点．若MA·MB＝0，则k＝()A.B．C.D．2[答案]D[解析]如图所示，设F为焦点，取AB的中点P，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为G、H，连接MF、MP，由MA·MB＝0，知MA⊥MB，则|MP|＝|AB|＝(|AG|＋|BH|)，所以MP为直角梯形BHGA的中位线，所以MP∥AG∥BH，所以∠GAM＝∠AMP＝∠MAP，又|AG|＝|AF|，AM为公共边，所以△AMG≌△AMF，所以∠AFM＝∠AGM＝90°，则MF⊥AB，所以k＝－＝2.5．(2015·武汉调研)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A.＋＝1B．＋＝1C.＋＝1D．＋＝1[答案]D[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式作差并化简变形得＝－，而＝＝，x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，所以a2＝2b2，又因为a2－b2＝c2＝9，于是a2＝18，b2＝9.故选D.6．(2015·丽水一模)斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为()A．2B．C.D．[答案]C[解析]设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.则x1＋x2＝－t，x1x2＝.∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝·，当t＝0时，|AB|max＝.二、填空题7．已知抛物线y2＝8x，过动点M(a,0)，且斜率为1的直线l与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤8，则实数a的取值范围是____________________.[答案]－2＜a≤－1[解析]将l的方程y＝x－a代入y2＝8x，得x2－2(a＋4)x＋a2＝0.则|AB|＝＝≤8，又 |AB|＞0，∴－2＜a≤－1.8．(2015·上海静安一模)已知椭圆C：＋＝1，过椭圆C上一点P(1，)作倾斜角互补的两条直线PA、PB，分别交椭圆C于A、B两点．则直线AB的斜率为____________________.[答案][解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，同时设PA的方程为y－＝k(x－1)，代入椭圆方程化简得(k2＋2)x2－2k(k－)x＋k2－2k－2＝0，显然1和x1是这个方程的两解．因此x1＝，y1＝.由一k代替x1，y1中的k，得x2＝，y2＝，所以＝.9．(2015·福建福州质检)已知F1、F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y＝x对称，则该双曲线的离心率为____________________.[答案][解析]由题意可知双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y＝对称，则PF1⊥PF2.又＝，联立|PF2|－|PF1|＝2a，|PF2|2＋|PF1|2＝(2c)2，可得b3＋a2b＝2c2a.所以b＝2a，e＝.10．(2015·大连双基测试)过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的直线l与抛物线交于B、C两点，l与抛物线准线交于点A，且|AF|＝6，AF＝2FB，则|BC|＝___________.[答案][解析]不妨设直线l的倾斜角为θ，其中0＜θ＜，点B(x1，y1)，C(x2，y2)，则点B在x轴的上方．过点B作该抛物线的准线的垂线，垂足为B1，于是有|BF|＝|BB1|＝3，＝，由此得p＝2，抛物线方程是y2＝4x，焦点F(1,0)，cosθ＝＝＝＝，sinθ＝＝，tanθ＝＝2，直线l：y＝2(x－1)．由消去y，得2x2－5x＋2＝0，x1＋x2＝，|BC|＝x1＋x2＋p＝＋2＝.三、解答题11．(2015·河南洛阳第一次统一考试)已知过点M(，0)的直线l与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A、B两点，且OA·OB＝－3，其中O为坐标原点.(1)求p的值；(2)当|AM|＋4|BM|最小时，求直线l的方程．[答案](1...
