课时跟踪检测(二十三)简单的三角恒等变换(分A、B卷，共2页)A卷：夯基保分一、选择题1．(2015·洛阳统考)已知sin2α＝，则cos2＝()A．－B．－C.D.2．(2015·青岛二模)设tan＝，则tan＝()A．－2B．2C．－4D．43．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，若它的终边经过点P(2,3)，则tan＝()A．－B.C.D．－4．若α∈，且3cos2α＝sin，则sin2α的值为()A.B．－C.D．－5．cos·cos·cos＝()A．－B．－C.D.6．定义运算＝ad－bc.若cosα＝，＝，0<β<α<，则β等于()A.B.C.D.二、填空题7．(2014·山东高考)函数y＝sin2x＋cos2x的最小正周期为________．8．若锐角α、β满足(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，则α＋β＝________.9.的值为________．10.＝________.三、解答题11．已知函数f(x)＝cos2x＋sinxcosx，x∈R.(1)求f的值；(2)若sinα＝，且α∈，求f.12．已知，0<α<<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝.(1)求sin2β的值；(2)求cos的值．B卷：增分提能1．已知0<α<<β<π，tan＝，cos(β－α)＝.(1)求sinα的值；(2)求β的值．2．已知向量a＝(sinωx，cosωx)，b＝(cosφ，sinφ)，函数f(x)＝a·b的最小正周期为2π，其图象经过点M.(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知α，β∈，且f(α)＝，f(β)＝，求f(2α－β)的值．3．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)．(1)求sin2α－tanα的值；(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα，求函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的取值范围．答案A卷：夯基保分1．选D∵cos2＝＝，∴cos2＝.2．选C因为tan＝＝，所以tanα＝，故tan＝＝－4.故选C.3．选D依题意，角α的终边经过点P(2,3)，则tanα＝，tan2α＝＝－，于是tan＝＝－.4．选Dcos2α＝sin＝sin＝2sincos代入原式，得6sincos＝sin，∵α∈，∴cos＝，∴sin2α＝cos＝2cos2－1＝－.5．选Acos·cos·cos＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－＝－＝－＝－＝－＝－.6．选D依题意有sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)＝，又0<β<α<，∴0<α－β<，故cos(α－β)＝＝，而cosα＝，∴sinα＝，于是sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝.故β＝.7．解析：y＝sin2x＋cos2x＋＝sin＋，所以其最小正周期为＝π.答案：π8．解析：由(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，可得＝，即tan(α＋β)＝.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.答案：9．解析：原式＝＝＝＝＝＝1.答案：110．解析：原式＝＝＝＝＝＝－4.答案：－411．解：(1)f＝cos2＋sincos＝2＋×＝.(2)因为f(x)＝cos2x＋sinxcosx＝＋sin2x＝＋(sin2x＋cos2x)＝＋sin，所以f＝＋sin＝＋sin＝＋sin.又因为sinα＝，且α∈，所以cosα＝－，所以f＝＋＝.12．解：(1)法一：∵cos＝coscosβ＋sinsinβ＝cosβ＋sinβ＝，∴cosβ＋sinβ＝，∴1＋sin2β＝，∴sin2β＝－.法二：sin2β＝cos＝2cos2－1＝－.(2)∵0<α<<β<π，∴<β－<π，<α＋β<，∴sin>0，cos(α＋β)<0.∵cos＝，sin(α＋β)＝，∴sin＝，cos(α＋β)＝－.∴cos＝cos＝cos(α＋β)·cos＋sin(α＋β)sin＝－×＋×＝.B卷：增分提能1．解：(1)∵tan＝，∴tanα＝＝＝，由解得sinα＝.(2)由(1)知cosα＝＝＝，又0<α<<β<π，∴β－α∈(0，π)，而cos(β－α)＝，∴sin(β－α)＝＝＝，于是sinβ＝sin[α＋(β－α)]＝sinαcos(β－α)＋cosαsin(β－α)＝×＋×＝.又β∈，∴β＝.2．解：(1)依题意有f(x)＝a·b＝sinωxcosφ＋cosωxsinφ＝sin(ωx＋φ)．∵函数f(x)的最小正周期为2π，∴2π＝T＝，解得ω＝1.将点M代入函数f(x)的解析式，得sin＝.∵＜φ＜π，∴＜＋φ＜，∴＋φ＝，∴φ＝.故f(x)＝sin＝cosx.(2)依题意有cosα＝，cosβ＝，而α，β∈，∴sinα＝＝，sinβ＝＝，∴sin2α＝2sinαcosα＝，cos2α＝cos2α－sin2α＝－＝－，∴f(2α－β)＝cos(2α－β)＝cos2αcosβ＋sin2αsinβ＝×＋×＝.3．解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，)，∴sinα＝，cosα＝－，tanα＝－.∴sin2α－tanα＝2sinαcosα－tanα＝－＋＝－.(2)∵f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα＝cosx，x∈R，∴g(x)＝cos－2cos2x＝sin2x－1－cos2x＝2sin－1，∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.∴－≤sin≤1，∴－2≤2sin－1≤1，故函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的取值范围是[－2,1]．
