2017高考数学一轮复习第八章解析几何第5讲椭圆习题A组基础巩固一、选择题1．“2＜m＜6”是“方程＋＝1表示椭圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]若＋＝1表示椭圆．则有∴2＜m＜6且m≠4.故“2＜m＜6”是“＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件．2．若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍．则m的值为()A.B．C．2D．4[答案]A[解析]将原方程变形为x2＋＝1.由题意知a2＝，b2＝1，∴a＝，b＝1.∴＝2，∴m＝.3．(2015·黑龙江大庆二模)如图，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，其中左焦点为F(－2，0)，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为()A.＋＝1B．＋＝1C.＋＝1D．＋＝1[答案]B[解析]设椭圆的焦距为2c，右焦点为F1，连接PF1，如图所示．由F(－2，0)，得c＝2.由|OP|＝|OF|＝|OF1|，知PF1⊥PF.在Rt△PF1F中，由勾股定理，得|PF1|＝＝＝8.由椭圆定义，得|PF1|＋|PF|＝2a＝4＋8＝12，从而a＝6，得a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2)2＝16，所以椭圆C的方程为＋＝1.4．(2015·浙江杭州二中第二次月考)如图，已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M、N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为()A.－1B．2－C.D．[答案]A[解析]因为过F1的直线MF1是圆F2的切线，所以可得∠F1MF2＝90°，|MF2|＝c.因为|F1F2|＝2c，所以可得|MF1|＝c.由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝c＋c＝2a，可得离心率e＝＝＝－1.5．(2015·河北邯郸一模)椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，如果线段PF2的中点在y轴上，那么|PF2|是|PF1|的()A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍[答案]A[解析]设线段PF2的中点为D，则|OD|＝|PF1|，OD∥PF1，OD⊥x轴，∴PF1⊥x轴．∴|PF1|＝＝＝.又 |PF1|＋|PF2|＝4，∴|PF2|＝4－＝.∴|PF2|是|PF1|的7倍．6．(2015·广州二模)设F1、F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为()A.B．C.D．[答案]A[解析]如图，设PF1的中点为M，连接PF2.因为O为F1F2的中点，所以OM为△PF1F2的中位线．所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|.由勾股定理得|F1F2|＝＝|PF2|，由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|⇒a＝，2c＝|F1F2|＝|PF2|⇒c＝，则e＝＝·＝.故选A.二、填空题7．已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝_________.[答案][解析]由题意知，A，C为椭圆的两焦点，由正弦定理，得＝＝＝＝.8．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________.[答案]＋＝1[解析]设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，∴M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为＋＝1.9．(2015～2016学年河北省正定中学第四次月考试题)已知AB是圆心C：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆x2＋4y2＝4b2(b∈R)经过A、B两点，则该椭圆的方程是___________.[答案]＋＝1[解析]解法一：由已知，椭圆的方程为x2＋4y2＝4b2.(1)依题意，圆心M(－2,1)是线段AB的中点，且|AB|＝.易知，AB不与x轴垂直，设其直线方程为y＝k(x＋2)＋1，代入(1)得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1·x2＝，由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝.从而x1x2＝8－2b2.于是|AB|＝|x1－x2|＝＝.由|AB|＝，得＝，解得b2＝3.故椭圆的方程为＋＝1.解法二：由已知，椭圆的方程为x2＋4y2＝4b2.(2)依题意，点A，B关于圆心M(－2,1)对称，且|AB|＝.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x＋4y＝4b2，x＋4y＝4b2，两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0.易知，AB不与x轴垂直，则x1≠x2，所以AB的斜率kAB＝＝.因此AB直线方程为y＝(x＋2)＋1，代入(2)得x2＋4x＋8－2b2＝0.所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2.于是|AB|＝|x1－x2|＝＝.由|AB|＝，得＝，解得b2＝3.故椭圆的方程为＋＝1.10．(2015·浙江)椭...
