5-4数列求和课时规范练(授课提示：对应学生用书第273页)A组基础对点练1．(2018·娄底期末)等差数列{an}中，a3＋a7＝4，则{an}的前9项和等于(A)A．18B．27C．－18D．－272．在数列{an}中，an＋1－an＝2，Sn为{an}的前n项和．若S10＝50，则数列{an＋an＋1}的前10项和为(C)A．100B．110C．120D．1303．(2018·安顺期末)设直线(n＋1)x＋ny＝(n∈N*)与两坐标轴围成的三角形面积为Sn，则S1＋S2＋…＋S2018的值为(C)A.B．C.D．解析：直线(n＋1)x＋ny＝(n∈N*)与两坐标轴的交点为和，则Sn＝··＝＝－，则S1＋S2＋…＋S2018＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.4．(2018·永定区校级月考)在有限数列{an}中，Sn为{an}的前n项和，把称为数列{an}的“优化和”，若数列a1，a2，…，a2018的“优化和”为2019，则数列2，a1，a2，…，a2018的“优化和”为(B)A．2021B．2020C．2019D．2018解析：数列a1，a2，…，a2018的“优化和”为2019.即为＝2019，2，a1，a2，…，a2018的“优化和”为＝2＋＝2＋＝2020.5．(2018·温州期末)已知等差数列{an}中，a2＝3，a6＝7，设bn＝，则使b1＋b2＋…＋bn≤成立的最大n的值为100.解析：∵等差数列{an}中，a2＝3，a6＝7，∴求得{an}的首项a1＝2，d＝1，∴an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，∴bn＝＝＝－，∴b1＋b2＋…＋bn＝1－＋－…＋－＝1－，∴1－≤，解得n≤100.即使b1＋b2＋…＋bn≤成立的最大n的值为100.6．数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为1830.解析：当n＝2k(k∈N*)时，a2k＋1＋a2k＝4k－1，当n＝2k－1(k∈N*)时，a2k－a2k－1＝4k－3，∴a2k＋1＋a2k－1＝2，∴a2k＋3＋a2k＋1＝2，∴a2k－1＝a2k＋3，∴a1＝a5＝…＝a61.∴a1＋a2＋a3＋…＋a60＝(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a60＋a61)＝3＋7＋11＋…＋(2×60－1)＝＝30×61＝1830.7．已知递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，a6＝64，且a4，a5的等差中项为3a3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解析：(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由题意，得解得所以an＝2n.(2)因为bn＝＝，所以Tn＝＋＋＋＋…＋，Tn＝＋＋＋…＋＋，所以Tn＝＋＋＋＋…＋－＝－＝－，故Tn＝－＝－.8．Sn为数列{an}的前n项和．已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和．解析：(1)由a＋2an＝4Sn＋3，可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.两式相减可得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)·(an＋1－an)．由于an>0，所以an＋1－an＝2.又由a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.(2)由an＝2n＋1可知bn＝＝＝.设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝.B组能力提升练1．(2018·宜宾期末)在数列{an}中，若a1＝0，an＋1－an＝2n，则＋＋…＋的值为(A)A.B．C.D．解析：数列{an}中，若a1＝0，an＋1－an＝2n，可得an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝0＋2＋4＋…＋2(n－1)＝n(n－1)，即有＝＝－，n≥2，n∈N*，可得＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.2．(2018·南京期末)已知数列{an}的通项公式为an＝则数列{an}前15项和S15的值为.解析：由＝，可得S15＝＋(2＋4＋6＋…＋14)－7×7＝×＋×7×16－49＝.3．等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.(2)由(1)可得bn＝2n＋n，所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)＝＋＝211＋53＝2101.4．已知数列{an}满足2anan＋1＝an－an＋1，且a1＝，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的前n项和为Sn，若数列{bn}满足bn＝(k∈N*)，求S64.解析：(1)由2anan＋1＝an－an＋1变形得－＝2.又＝2，所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以＝2＋2(n－1)＝2n，故an＝.(2)由(1)可得anan＋1＝＝＝.又＝，所以S64＝＋×＋…＋＝4＋×＝.5．(2018·武汉二次联考)若数列{an}的前n项和为Sn，首项a1>0，且2Sn＝a＋an(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若an>0(n∈N*)，令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解析：(1)当n＝1时，2S1＝a＋a1，则a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，即(an＋an－1)·(an－an－1－1)＝0⇒an＝－an－1或an＝an－1＋1，∴an＝(－1)n－1或an＝n.(2)由an>0，∴an＝n，bn＝＝.∴Tn＝＝＝－.
