课时作业49空间向量及其运算一、选择题1．已知点A(－3,0，－4)，点A关于原点的对称点为B，则|AB|等于()A．12B．9C．25D．10解析：点A关于原点对称的点B的坐标为(3,0,4)，故|AB|＝＝10.答案：D2．已知向量a＝(2，－3,5)，b＝(3，λ，)，且a∥b，则λ等于()A.B.C．－D．－解析：a∥b⇔a＝kb⇔⇔答案：C3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值为()A．1B.C.D.解析：ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，由题意知，3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝.答案：D4．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a、b、c三个向量共面，则实数λ等于()A.B.C.D.解析：由于a，b，c三个向量共面，所以存在实数m，n使得c＝ma＋nb，即有解得m＝，n＝，λ＝.答案：D5．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，AM＝MC1，点N为B1B的中点，则|MN|等于()A.aB.aC.aD.a解析： MN＝AN－AM＝AN－AC1＝AB＋BN－(AB＋AD＋AA1)＝AB＋AA1－AD，∴|MN|＝＝a.故选A.答案：A6．设A，B，C，D是空间不共面的四个点，且满足AB·AC＝0，AD·AC＝0，AD·AB＝0，则△BCD的形状是()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．无法确定解析：BC·BD＝(AC－AB)·(AD－AB)＝AC·AD－AC·AB－AB·AD＋AB2＝AB2>0，同理DB·DC>0，CB·CD>0，故△BCD为锐角三角形．故选C.答案：C二、填空题7．已知点P在z轴上，且满足|OP|＝1(O为坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离为________．解析：由题意知，P(0,0,1)或P(0,0，－1)．∴|PA|＝＝.或|PA|＝＝.答案：或8.已知空间四边形OABC，点M、N分别是OA、BC的中点，且OA＝a，OB＝b，OC＝c，用a，b，c表示向量MN＝________.解析：如图，MN＝(MB＋MC)＝[(OB－OM)＋(OC－OM)]＝(OB＋OC－2OM)＝(OB＋OC－OA)＝(b＋c－a)．答案：(b＋c－a)9．已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当QA·QB取最小值时，点Q的坐标是________．解析：由题意，设OQ＝λOP，即OQ＝(λ，λ，2λ)，则QA＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴QA·QB＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝62－，当λ＝时有最小值，此时Q点坐标为.答案：三、解答题10．已知a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2,2)．(1)求|2a＋b|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得OE⊥b？(O为原点)解：(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2，1,1)＝(0，－5,5)，故|2a＋b|＝＝5.(2)令AE＝tAB(t∈R)，所以OE＝OA＋AE＝OA＋tAB＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，若OE⊥b，则OE·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝.因此存在点E，使得OE⊥b，此时E点的坐标为(－，－，)．11．(2015·云南玉溪一中统考)如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝.(1)求证：C1B⊥平面ABC；(2)设CE＝λCC1(0≤λ≤1)，且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．解：(1)因为AB⊥侧面BB1C1C，BC1⊂侧面BB1C1C，故AB⊥BC1，在△BCC1中，BC＝1，CC1＝BB1＝2，∠BCC1＝.BC＝BC2＋CC－2BC·CC1·cos∠BCC1＝12＋22－2×1×2×cos＝3，所以BC1＝，故BC2＋BC＝CC，所以BC⊥BC1，而BC∩AB＝B，所以C1B⊥平面ABC.(2)由(1)可知，AB，BC，BC1两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则B(0,0,0)，A(0,1,0)，B1(－1,0，)，C(1,0,0)，C1(0,0，)．所以CC1＝(－1,0，)，所以CE＝(－λ，0，λ)，E(1－λ，0，λ)．则AE＝(1－λ，－1，λ)，AB1＝(－1，－1，)．设平面AB1E的法向量为n＝(x，y，z)．则，，令z＝，则x＝，y＝，故n＝(，，)是平面AB1E的一个法向量．因为AB⊥平面BB1C1C，BA＝(0,1,0)是平面BB1E的一个法向量，所以|cos〈n，BA〉|＝||＝||＝.两边平方并化简得2λ2－5λ＋3＝0，所以λ＝1或λ＝(舍去)．1．二面角α—l—β为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为()A．2aB.aC．aD.a解析： AC⊥l，BD⊥l，∴〈AC，BD〉＝60°，且AC·BA＝0，AB...
