考点集训(四)第4讲函数及其表示对应学生用书p206A组题1．下列所给图象是函数图象的个数为()A．1B．2C．3D．4[解析]①中当x＞0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．[答案]B2．函数f(x)＝log2(1－2x)＋的定义域为()A.B.C．(－1，0)∪D．(－∞，－1)∪[解析]由1－2x＞0，且x＋1≠0，得x＜且x≠－1，所以函数f(x)＝log2(1－2x)＋的定义域为(－∞，－1)∪.[答案]D3．(多选)下列各组函数中，表示同一函数的是()A．f(x)＝elnx，g(x)＝xB．f(x)＝，g(x)＝x－2(x≠－2)C．f(x)＝，g(x)＝sinxD．f(x)＝0，x∈{－1，1}，g(x)＝＋[解析]A，C的定义域不同，所以答案为BD.[答案]BD4．若函数y＝f(x)的定义域是[0，2021]，则函数g(x)＝的定义域是()A．[－1，2020]B．[－1，1)∪(1，2020]C．[0，2021]D．[－1，1)∪(1，2021][解析]使函数f(x＋1)有意义，则0≤x＋1≤2021，解得－1≤x≤2020，故函数f(x＋1)的定义域为[－1，2020]．所以函数g(x)有意义的条件是解得－1≤x＜1或1＜x≤2020.故函数g(x)的定义域为[－1，1)∪(1，2020]．[答案]B5．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为()A．g(x)＝2x2－3xB．g(x)＝3x2－2xC．g(x)＝3x2＋2xD．g(x)＝－3x2－2x[解析]设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，∴解得∴g(x)＝3x2－2x.[答案]B6．已知单调函数f(x)，对任意的x∈R都有f[f(x)－2x]＝6，则f(2)＝()A．2B．4C．6D．8[解析]设t＝f(x)－2x，则f(t)＝6，且f(x)＝2x＋t，令x＝t，则f(t)＝2t＋t＝3t＝6，解得t＝2，∴f(x)＝2x＋2，∴f(2)＝2×2＋2＝6.[答案]C7．函数f(x)＝ln(x＋1)＋(x－2)0的定义域为__________．[解析]要使函数有意义，需满足解得x＞－1且x≠2，所以该函数的定义域为(－1，2)∪(2，＋∞)．[答案](－1，2)∪(2，＋∞)8．已知函数f(x)＝(x＋a)3＋3，对任意x∈R，都有f(1＋x)＝6－f(1－x)，则f(2)＋f(－2)＝____________．[解析]令x＝0，知f(1)＝6－f(1)，∴f(1)＝3，∴f(1)＝(1＋a)3＋3＝3，∴a＝－1，∴f(x)＝(x－1)3＋3，∴f(2)＋f(－2)＝－20.[答案]－20B组题1．定义在(－1，1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)＝____________________．[解析]当x∈(－1，1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①以－x代替x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②由①②消去f(－x)得，f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1，1)．[答案]lg(x＋1)＋lg(1－x)2．已知函数f(x)＝且f(3)＝3，则f(－1)＝________；f[f(2)]＝________．[解析]∵函数f(x)＝且f(3)＝3，∴logt(32－1)＝3，即logt8＝3，∴t＝2，∴f(x)＝∴f(－1)＝2·2－1＝1，f(2)＝log23，f[f(2)]＝2×2log23＝2×3＝6.[答案]1；63．已知定义在R上的函数f(x)满足：对于任意的实数x，y，都有f(x－y)＝f(x)＋y(y－2x＋1)，且f(－1)＝3，则函数f(x)的解析式为____________．[解析]令x＝0，y＝－x，得f(x)＝f(0)＋x2－x.把x＝－1代入上式，得f(0)＝f(－1)－2＝1，从而有f(x)＝x2－x＋1.[答案]f(x)＝x2－x＋14．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨为3.00元．某月甲、乙两用户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x(吨)，3x(吨)．(1)求y关于x的函数解析式；(2)若甲、乙两用户该月共交水费26.40元，则甲、乙两户该月的水费分别为多少．[解析](1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，x≤时，乙的用水量也不超过4吨，y＝(5x＋3x)×1.8＝14.4x；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4且5x＞4，时，y＝2×4×1.8＋3(5x－4)＋3(3x－4)＝24x－9.6，所以y＝(2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增，当x∈时，y≤f＜26.4；当x∈时，y≤f＜26.4；当x∈时，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5.所以甲户用水量为5x＝7.5吨，所交水费为y甲＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70(元)；乙户用水量为3x＝4.5吨，所交水费y乙＝4×1.80＋0.5×3.00＝8.70(元)．
