【成才之路】2015-2016学年高中数学1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课时作业新人教A版选修2-3一、选择题1．设(5x－)n的展开式中各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为()A．－150B．150C．300D．－300[答案]B[解析]令x＝1，得M＝4n，又N＝2n，故4n－2n＝240.解得n＝4.展开式中的通项为Tr＋1＝C(5x)4－r(－)r＝(－1)r54－rCx4－r，令4－r＝1得r＝2，∴当r＝2时，展开式中x的系数为C52＝150.故选B．2．若n展开式中的第6项的系数最大，则不含x的项等于()A．210B．120C．461D．416[答案]A[解析]由已知得，第6项应为中间项，则n＝10.Tr＋1＝C·(x3)10－r·r＝C·x30－5r.令30－5r＝0，得r＝6.∴T7＝C＝210.3．(2015·泉州市南安一中高二期中)若(3－)n的展开式中各项系数之和为256，则展开式的常数项是()A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项[答案]C[解析]令x＝1，得出(3－)n的展开式中各项系数和为(3－1)n＝256，解得n＝8；∴(3－)8的展开式通项公式为：Tr＋1＝C·(3)8－r·(－)r＝(－1)r·38－r·C·x4－r，令4－r＝0，解得r＝4.∴展开式的常数项是Tr＋1＝T5，即第5项．故选C．4．(2013·辽师大附中高二期中)若9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C是11的倍数，则自然数n为()A．奇数B．偶数C．3的倍数D．被3除余1的数[答案]A[解析]9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C＝(9n＋1＋C9n＋…＋C92＋C9＋C)－＝(9＋1)n＋1－＝(10n＋1－1)是11的倍数，∴n＋1为偶数，∴n为奇数．5．(2014·湖北理，2)若二项式(2x＋)7的展开式中的系数是84，则实数a＝()A．2B．C．1D．[答案]C1[解析]二项式(2x＋)7的通项公式为Tr＋1＝C(2x)7－r()r＝C27－rarx7－2r，令7－2r＝－3，得r＝5.故展开式中的系数是C22a5＝84，解得a＝1.6．(2015·河北衡水中学高二期中)233除以9的余数是()A．8B．4C．2D．1[答案]A[解析]233＝(23)11＝(9－1)11＝911－C910＋C99＋…＋C9－1＝9(910－C99＋…＋C－1)＋8，∴233除以9的余数是8.故选A．[点评]在利用二项式定理证明整除问题或求余数的问题时要进行合理的变形，常用的变形手段与技巧是拆数，往往是将幂底数写成两数之和，其中一数是除数或其倍数，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．二、填空题7．若n展开式的各项系数之和为32，则n＝________，其展开式中的常数项为________(用数字作答)．[答案]510[解析]令x＝1，得2n＝32，得n＝5，则Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·x10－5r，令10－5r＝0，r＝2.故常数项为T3＝10.8．已知(x－)8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是________.[答案]1或38[分析]令Tr＋1项中x的指数为0可求得常数a的值；在二项展开式中当x＝1时即得各项系数的和．[解析]Tr＋1＝Cx8－r(－)r＝(－a)r·C·x8－2r，令8－2r＝0得r＝4，由条件知，a4C＝1120，∴a＝±2，令x＝1得展开式各项系数的和为1或38.9．在二项式(＋)n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则n＝________.[答案]3[解析]由题意可知，B＝2n，A＝4n，由A＋B＝72，得4n＋2n＝72，∴2n＝8，∴n＝3.三、解答题10．设(1－2x)2016＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2016x2016(x∈R)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2016的值．(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2015的值．(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2016|的值．[解析](1)令x＝1，得：a0＋a1＋a2＋…＋a2016＝(－1)2016＝1①(2)令x＝－1，得：a0－a1＋a2－…＋a2016＝32016②①－②得：2(a1＋a3＋…＋a2015)＝1－32016，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2015＝.(3) Tr＋1＝C·12016－r·(－2x)r2＝(－1)r·C·(2x)r，∴a2k－1<0(k∈N*)，a2k>0(k∈N*)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2016|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2016＝32016.一、选择题11．(2014·潍坊市五校联考)已知(x2－)n的展开式中，常数项为15，则n的值可以为()A．3B．4C．5D．6[答案]D[解析]通项Tr＋1＝C(x2)n－r(－)r＝(－1)rCx2n－3r，当r＝n时为常数项，即(－1)nCn＝15，经检验n＝6.12．若n为正奇数，则7n＋C·7n－1＋C·7n－2＋…＋C·7被9除所得的余数是()A．0B．2C．7D．8[答案]C[解析]原式＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C·9n－1＋...
