2.5直线与圆锥曲线(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k等于()A．2或－2B．－1C．2D．3【解析】由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，∴x1＋x2＝＝4，∴k＝2(k＝－1舍去)．【答案】C2．已知双曲线C：x2－＝1，过点P(1,2)的直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有()A．1条B．2条C．3条D．4条【解析】因为双曲线的渐近线方程为y＝±2x，点P在一条渐近线上，又由于双曲线的顶点为(±1,0)，所以过点P且与双曲线相切的切线只有一条．过点P平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条．【答案】B3．已知双曲线－＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()【导学号：15460053】A.B．4C．3D．5【解析】 抛物线y2＝12x的焦点为(3,0)，故双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，即c＝3，故32＝4＋b2，∴b2＝5，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为＝.【答案】A4．已知椭圆C1：＋y2＝1(m>1)与双曲线C2：－y2＝1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()A．m>n且e1e2>1B．m>n且e1e2<1C．m1D．mn2. m>1，n>0，∴m>n. C1的离心率e1＝，C2的离心率e2＝，∴e1e2＝·＝＝＝＝>＝1.【答案】A15．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若FA＝2FB，则k等于()A.B．C．D．【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，∴x1x2＝4.① FA＝x1＋＝x1＋2，FB＝x2＋＝x2＋2，且FA＝2FB，∴x1＝2x2＋2.②由①②得x2＝1，∴B(1,2)，代入y＝k(x＋2)，得k＝.【答案】D二、填空题6．若直线x－y－m＝0与椭圆＋y2＝1有且仅有一个公共点，则m＝________.【导学号：15460054】【解析】将直线方程代入椭圆方程，消去x，得到10y2＋2my＋m2－9＝0，令Δ＝0，解得m＝±.【答案】±7．已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________．【解析】设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)，由消去y，得3x2－4x＝0.∴A(0，－1)，B.∴|AB|＝，∴|F1A|＋|F1B|＝4a－|AB|＝4－＝.【答案】8．在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．【解析】直线l的方程为y＝(x－1)，即x＝y＋1，代入抛物线方程得y2－y－4＝0，解得yA＝＝2(yB<0，舍去)，故△OAF的面积为×1×2＝.【答案】三、解答题9．如图251所示，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.图251(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．【解】(1)由得x2－4x－4b＝0.(*)因为直线l与抛物线C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.2(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)即为x2－4x＋4＝0，解得x＝2.将其代入x2＝4y，得y＝1.故点A(2,1)．因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2，所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.10．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．【解】(1)由题意得消去y，整理得5x2＋2mx＋m2－1＝0. 直线与椭圆有公共点，∴Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2≥0，∴－≤m≤.(2)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由(1)得∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝. －≤m≤，∴0≤m2≤，∴当m＝0时，|AB|取得最大值，此时直线方程为y＝x，即x－y＝0.[能力提升]1．设F1，F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，则PF1·PF2的值等于()A．0B．2C．4D．－2【解析】由题意得c＝＝，又S四边形PF1QF2＝2S△PF1F2＝2××|F1F2|·h(h为F1F2边上的高)，所以当h＝b＝1时，S四边形PF1QF2取最...
