第一章不等关系与基本不等式本章整合提升1．(2016·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝|2x－1|，当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6，得－1≤x≤3.所以不等式f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞)．2．(2015·湖南卷)设a＞0，b＞0，且a＋b＝＋.证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．证明：由a＋b＝＋＝，a＞0，b＞0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．(2)假设a2＋a＜2与b2＋b＜2同时成立，则由a2＋a＜2及a＞0，得0＜a＜1.同理0＜b＜1.从而ab＜1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．3．已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x＋1|.(1)当a＝1时，解不等式f(x)＜3；(2)若函数f(x)的最小值为1，求a的值．解：(1)当a＝1时，f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|＝且f(1)＝f(－1)＝3，所以不等式f(x)＜3的解集为{x|－1＜x＜1}．(2)|2x－a|＋|x＋1|＝＋|x＋1|＋≥＋0＝，当且仅当(x＋1)≤0且x－＝0时取等号，所以＝1.解得a＝－4或a＝0.4．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.1(1)在图中画出函数y＝f(x)的图像；(2)求不等式|f(x)|＞1的解集．解：(1)f(x)＝由分段函数的图像画法，可得f(x)的图像，如图．(2)由|f(x)|＞1，可得当x≤－1时，|x－4|＞1，解得x＞5或x＜3.所以x≤－1.当－1＜x＜时，|3x－2|＞1，解得x＞1或x＜.所以－1＜x＜或1＜x＜.当x≥时，|4－x|＞1，解得x＞5或x＜3.所以x＞5或≤x＜3.综上，x＜或1＜x＜3或x＞5.故不等式|f(x)|＞1的解集为∪(1,3)∪(5，＋∞)．5．已知函数f(x)＝的定义域为R.(1)求实数m的取值范围；(2)若实数m的最大值为n，当正数a，b满足＋＝n时，求7a＋4b的最小值．解：(1)∵函数定义域为R，∴关于x的不等式|x＋1|＋|x－3|－m≥0恒成立．设g(x)＝|x＋1|＋|x－3|，则m不大于函数g(x)的最小值．∵|x＋1|＋|x－3|≥|(x＋1)－(x－3)|＝4，即函数g(x)的最小值为4，∴m≤4.故实数m的取值范围为(－∞，4]．(2)由(1)，知n＝4.∴7a＋4b＝[(6a＋2b)＋(a＋2b)]＝≥＝，当且仅当a＋2b＝3a＋b，即b＝2a＝时取等号．∴7a＋4b的最小值为.6．设a>0，b>0，c＞0，且ab＋bc＋ca＝1.求证：(1)a＋b＋c≥；(2)＋＋≥(＋＋)．证明：(1)由于a>0，b>0，c＞0，要证a＋b＋c≥，只需证(a＋b＋c)2≥3，即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3.而ab＋bc＋ca＝1，2故只需证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)，即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.而这可以由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)证得．所以原不等式成立．(2)＋＋＝.在(1)中已证a＋b＋c≥.要证原不等式成立，只需证≥＋＋，即证a＋b＋c≤ab＋bc＋ca，∵a≤，b≤，c≤，∴a＋b＋c≤ab＋bc＋ca.∴＋＋≥(＋＋)．7．设a＞0，b＞0，a＋b＝1.求证：(1)＋＋≥8；(2)2＋2≥.证明：(1)∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2，即≤.∴≥4.∴＋＋＝(a＋b)＋≥2·2＋4＝8.∴＋＋≥8.(2)∵≤，∴≥2.∴2＋2≥22＝≥≥.∴2＋2≥.8．某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400元/m，中间两道隔墙建造单价为248元/m，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16m，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解：(1)设污水处理池的长为xm，则宽为m.设总造价为y元，则有y＝2x×400＋×800＋248×2×＋80×200＝800x＋＋16000≥2＋16000＝44800，当且仅当800x＝，即x＝18时取等号．∴当污水池的长为18m、宽为m时，总造价最低，为44800元．(2)∵0＜x≤16,0＜≤16，∴12.5≤x≤16.3由(1)，知y＝φ(x)＝800＋16000(12.5≤x≤16)．对任意x1，x2∈[12.5,16]，设x1＜x2，则φ(x1)－φ(x2)＝800＝＞0.∴φ(x1)＞φ(x2)．故函数y＝φ(x)在区间[12.5,16]上为减函数．从而有φ(x)≥φ(16)＝45000.∴当污水池的长为16m、宽为12.5m时，有最低总造价，最低总造价为45000元．4
