课时作业11椭圆及其标准方程(2)知识点一椭圆定义的综合应用1.已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是()A．2B．4C．8D.答案B解析设椭圆的另一个焦点为E，则|MF|＋|ME|＝10，∴|ME|＝8，又ON为△MEF的中位线，∴|ON|＝|ME|＝4.2．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．答案2120°解析 a2＝9，b2＝2，∴c＝＝＝，∴|F1F2|＝2.又|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝2.由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝－，∴∠F1PF2＝120°.知识点二椭圆标准方程的应用3.若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是()A．－9＜m＜8B．8＜m＜25C．16＜m＜25D．m＞8答案B解析依题意，有解得8＜m＜25.4．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是()A．(0，＋∞)B．(0,2)C．(1，＋∞)D．(0,1)答案D解析方程x2＋ky2＝2可化为＋＝1，若焦点在y轴上，则必有＞2，且k＞0，即0＜k＜1.知识点三相关点代入法求轨迹方程5.已知圆x2＋y2＝1，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP′，则线段PP′的中点M的轨迹方程是()A．4x2＋y2＝1B．x＝C.＋y2＝1D．x2＋＝1答案A解析设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x＝，y＝y0.因为P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，所以x＋y＝1.①将x0＝2x，y0＝y代入方程①，得4x2＋y2＝1，所以点M的轨迹方程是4x2＋y2＝1.故选A.6．设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若F1A＝5F2B，则点A的坐标是________．答案(0,1)或(0，－1)解析由题意知F1(－，0)，F2(，0)．设点A和点B的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)，则F1A＝(xA＋，yA)，F2B＝(xB－，yB)．由F1A＝5F2B得xB＝，yB＝，代入椭圆方程得＋2＝1①.1又＋y＝1②，由①②联立，解得xA＝0，yA＝±1.故点A的坐标为(0,1)或(0，－1)．一、选择题1．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1或＋＝1D.＋＝1或＋＝1答案C解析由已知2c＝|F1F2|＝2，∴c＝.又2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝9.故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.2．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析将方程mx2＋ny2＝1转化为＋＝1，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上，则有>0，>0，且>，即m>n>0.反之，m>n>0时，方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆．故选C.3．若椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积为()A．9B．12C．15D．18答案A解析设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则由∠F1PF2＝90°且|F1F2|＝8，知r＋r＝64.又r1＋r2＝10，可得r1r2＝18，所以S△PF1F2＝r1r2＝9.4．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝()A.B.C．5D．无法确定答案A解析由题意，知|AC|＝8，|AB|＋|BC|＝10，所以＝＝＝.5．已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为()A.＋＝1(y≠0)B.＋y2＝1(y≠0)C.＋3y2＝1(y≠0)D．x2＋＝1(y≠0)答案C解析由椭圆C：＋＝1可知焦点坐标为(－1,0)，(1,0)，设P(x′，y′)，G(x，y)，则有x＝＝，y＝＝，所以x′＝3x，y′＝3y，又＋＝1，所以＋＝1，即＋3y2＝1(y≠0)．二、填空题6．已知椭圆＋＝1的焦点在y轴上，若焦距为4，则m等于__________．答案8解析由题意得m－2>10－m>0，解得6sinα>0，∴tanα<1， α∈，∴0<α<.8．设P为椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则|PF1||PF2|的最大值是__________．答案9解析由已知a＝3，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF1||PF2|≤2＝9.当且仅当|PF1|＝|PF2|＝3时，式中等号成立．故|PF1||PF2|的最大值为9.三、解答题9．点P(x...
