第9章计数原理与概率、随机变量及其分布第3节二项式定理1．（2014浙江，5分）在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝()A．45B．60C．120D．210解析:由题意知f(3,0)＝CC，f(2,1)＝CC，f(1，2)＝CC，f(0,3)＝CC，因此f(3,0)＋f(2,1)＋f(1，2)＋f(0,3)＝120，选C.答案：C2．（2014湖南，5分）5的展开式中x2y3的系数是()A．－20B．－5C．5D．20解析：选A由二项展开式的通项可得，第四项T4＝C2(－2y)3＝－20x2y3，故x2y3的系数为－20，选A.答案：A3．（2014四川，5分）在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为()A．30B．20C．15D．10解析：只需求(1＋x)6的展开式中含x2项的系数即可，而含x2项的系数为C＝15，故选C.答案：C4．（2014湖北，5分）若二项式7的展开式中的系数是84，则实数a＝()A．2B.C．1D.解析：Tk＋1＝C(2x)7－kk＝C27－kakx7－2k，令7－2k＝－3，得k＝5，即T5＋1＝C22a5x－3＝84x－3，解得a＝1.选C.答案：C5．（2014新课标全国Ⅰ，5分）(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)解析：(x＋y)8中，Tr＋1＝Cx8－ryr，令r＝7，再令r＝6，得x2y7的系数为C－C＝8－28＝－20.答案：－206．（2014新课标全国Ⅱ，5分）(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________.(用数字填写答案)解析：二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx10－rar，当10－r＝7时，r＝3，T4＝Ca3x7，则Ca3＝15，故a＝.答案：7．（2014山东，5分）若6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．解析：Tr＋1＝C(ax2)6－rr＝Ca6－rbrx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，故Ca3b3＝20，所以ab＝1，a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b＝1或a＝b＝－1时，等号成立．答案：28．（2014安徽，5分）设a≠0，n是大于1的自然数，n的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如图所示，则a＝________.解析：由题图可知a0＝1，a1＝3，a2＝4，由题意知故可得答案：39．（2013新课标全国Ⅰ，5分）设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝()A．5B．6C.7D.8解析：本题考查二项式系数的性质，意在考查考生对二项式系数的性质的运用和计算能力．根据二项式系数的性质知：(x＋y)2m的二项式系数最大有一项，C＝a，(x＋y)2m＋1的二项式系数最大有两项，C＝C＝b.又13a＝7b，所以13C＝7C，将各选项中m的取值逐个代入验证，知m＝6满足等式，所以选择B.答案：B10．（2013新课标全国Ⅱ，5分）已知(1＋ɑx)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ＝()A．－4B.－3C．－2D．－1解析：本题涉及二项式定理、计数原理的知识，意在考查考生的分析能力与基本运算能力．展开式中含x2的系数为C＋aC＝5，解得a＝－1，故选D.答案：D11．（2013陕西，5分）设函数f(x)＝则当x>0时，f(f(x))表达式的展开式中常数项为()A．－20B．20C．－15D．15解析：本题考查分段函数和二项式定理的应用，解题关键是对复合函数的复合过程的理解．依据分段函数的解析式，得f(f(x))＝f(－)＝6，∴Tr＋1＝C(－1)rxr－3，则常数项为C(－1)3＝－20.答案：A12．（2013江西，5分）.5展开式中的常数项为()A．80B．－80C．40D．－40解析：本题考查二项式定理，意在考查考生的运算能力．Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·(－2)r·x10－5r，令10－5r＝0，得r＝2，故常数项为C×(－2)2＝40.答案：C13．（2013安徽，5分）若8的展开式中x4的系数为7，则实数a＝________.解析：本题考查二项展开式的通项．二项式8展开式的通项为Tr＋1＝Carx8－r，令8－r＝4，可得r＝3，故Ca3＝7，易得a＝.答案：14．（2013浙江，5分）设二项式5的展开式中常数项为A，则A＝________.解析：本题考查二项式定理及相关概念，考查利用二项式定理解决相关问题的能力以及考生的运算求解能力．Tr＋1＝(－1)rCx，令15－5r＝0，得r＝3，故常数项A＝(－1)3C＝－10.答案：－1015.（2013天津，5分）6的二项展开式中的常数项为________．解析：本题考查二项式定理的应用，意在考查考生的运算求解能力．二项式6展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cx6－r(－)r＝C...
