二倍角公式的两个特殊变式及应用一、变式变式1：sin2＝sin2(＋4)－cos2(＋4)＝2sin2(＋4)－1＝1－2cos2(＋4)．变式2：cos2＝2sin(＋4)cos(＋4)＝2sin(4＋)sin(4－)．以上两个变式的形式与二倍角正、余弦形式恰相反，角度变为(＋4)．其实证明只需运用诱导公式再结合倍角公式即可解决．由sin2＝－cos(2＋2)＝－cos2(＋4)，及cos2＝sin2(＋4)，再用倍角公式即可．二、应用变式1、2主要用于题中含有2与4±问题的转化．例1已知cos(＋4)＝35，求sin2sin4．分析：本题只需将sin2及sin(4－)，运用变式及诱导公式转化成cos(＋4)形式即可解决问题．解：∵cos(＋4)＝35，由变式1，得sin2＝1－2cos2(＋4)＝725．sin(4－)＝cos(＋4)＝35．∴原式＝77253155．1例2已知sin(4＋x)sin(4－x)＝16，x∈(2，)，求sin4x的值．分析：本题只需求cos2x即可，又由变式2并结合题意即可解决．解：由变式2，得cos2x＝2sin(4＋x)sin(4－x)＝31，又2x∈(，2)，∴sin2x＝－21cos2x＝－223．∴sin4x＝2sin2xcos2x＝－429．例3已知x∈(－2，2)，且sin2x＝2sin(x－4)，求x的值．分析：将角2x与x－4统一即可，又运用变式1即可达到目的．解：由变式1，原方程可化为1－2cos2(x＋4)＝－cos(x＋4)．解得cos(x＋4)＝1或cos(x＋4)＝－21．又x∈(－2，2)，∴x＋4＝0或x＋4＝23，∴x＝－4或x＝－512．2
