课时分层作业(二十二)双曲线的几何性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A．B．5C．D．2A[由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2．∴e2＝＝5，∴e＝．]2．若双曲线的一个焦点为(0，－13)，且离心率为，则其标准方程为()A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1D[依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13．又＝，所以a＝5，b＝＝12，故其标准方程为－＝1．]3．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦点F到渐近线距离与顶点A到渐近线距离之比为3∶1，则双曲线C的渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±xD[根据题意，双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦点在y轴上，其渐近线方程为y＝±x，若双曲线的焦点F到渐近线距离与顶点A到渐近线距离之比为3∶1，则c＝3a，则b＝＝2a，则双曲线的渐近线方程为y＝±x．]4．平行四边形ABCD的四个顶点均在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上，直线AB，AD的斜率分别为，1，则该双曲线的渐近线方程为()A．x±y＝0B．x±y＝0C．x±y＝0D．x±y＝0A[ 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)是中心对称的，故平行四边形ABCD的顶点B，D关于原点对称，设A(x0，y0)，B(x1，y1)，则D(－x1，－y1)，故－＝1，－＝1，∴－＝0，整理得到：1＝，即－kAB·kAD＝0，故＝，即＝，∴渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0．]5．若双曲线－＝1的渐近线的方程为y＝±x，则双曲线焦点F到渐近线的距离为()A．B．C．2D．2A[ a＝3，b＝，∴＝，∴m＝5，∴c＝＝，∴一个焦点的坐标为(，0)，到渐近线的距离d＝＝．]二、填空题6．已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的离心率为．2[根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a，b的等式，即－＝1，考虑到焦距为4，可得到一个关于c的等式，2c＝4，即c＝2．再加上a2＋b2＝c2，可以解出a＝1，b＝，c＝2，所以离心率e＝2．]7．与椭圆＋＝1共焦点，离心率之和为的双曲线标准方程为．－＝1[椭圆的焦点是(0,4)，(0，－4)，∴c＝4，e＝，∴双曲线的离心率等于－＝2，∴＝2，∴a＝2．∴b2＝42－22＝12．∴双曲线的标准方程为－＝1．]8．已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝．3[因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°．不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2,0)，所以直线MN的方程为y＝－(x－2)，由得所以M，所以|OM|＝＝，所以|MN|＝|OM|＝3．]三、解答题9．已知双曲线的一条渐近线为x＋y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．[解]椭圆方程为＋＝1，2∴椭圆的焦距为8．①当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，∴，解得．∴双曲线的标准方程为－＝1．②当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，∴，解得．∴双曲线的标准方程为－＝1．由①②可知，双曲线的标准方程为－＝1或－＝1．10．设双曲线－＝1的两个焦点分别为F1，F2，离心率为2．(1)求此双曲线的渐近线l1，l2的方程；(2)若A，B分别为l1，l2上的点，且2|AB|＝5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程．[解](1) e＝2，∴c2＝4a2． c2＝a2＋3，∴a＝1，c＝2．∴双曲线方程为y2－＝1，渐近线方程为y＝±x．∴l1的方程为y＝x，l2的方程为y＝－x．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x，y)． 2|AB|＝5|F1F2|＝5×2c＝20，∴|AB|＝10，∴＝10，即(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝100． y1＝x1，y2＝－x2，x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，∴y1＋y2＝(x1－x2)，y1－y2＝(x1＋x2)，∴y＝(x1－x2)，y1－y2＝x，代入(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝100，得3×(2y)2＋(2x)2＝100，整理得＋＝1．11．(多选题)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，又点N．若双曲线C左支上的任意一点M均满足|MF2|＋|MN|＞4b，则双曲线C的离心率可能为()A．3B．4C．D．ABD[双曲线C左支上的任意一点M均满足|MF2|＋|MN|＞4b，3即(|MF2|＋|MN|)min＞4b，又|M...
