高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式（第1课时）基本不等式巩固提升（含解析）新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题VIP专享VIP免费

第1课时基本不等式[A基础达标]1．下列命题正确的是()A．若x≠kπ，k∈Z，则y＝sin2x＋的最小值是4B．若x＜0，则y＝x＋的最小值是－4C．若a＞0，b＞0，则lga＋lgb≥2D．若a＜0，b＜0，则＋≥2解析：选D.对于A，不满足基本不等式等号成立的条件；对于B，x＜0，则x＋≤－4，对于C，lga，lgb可能小于0；D正确．2．设x>0，则y＝3－3x－的最大值是()A．3B．3－2C．3－2D．－1解析：选C.y＝3－3x－＝3－≤3－2＝3－2，当且仅当3x＝，即x＝时取等号．3．已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是()A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2C.＋>D.＋≥2解析：选D.对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以>0，>0，所以＋≥2，即＋≥2成立．4．设x＞0，则函数y＝x＋－的最小值为()A．0B.C．1D.解析：选A.因为x＞0，所以x＋＞0，所以y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立，所以函数的最小值为0.5．已知x＞1，y＞1且xy＝16，则log2x·log2y()A．有最大值2B．等于4C．有最小值3D．有最大值4解析：选D.因为x＞1，y＞1，所以log2x＞0，log2y＞0.所以log2x·log2y≤＝＝4，当且仅当x＝y＝4时取等号．故选D.6．已知x＞0，y＞0，2x＋3y＝6，则xy的最大值为________．解析：因为x＞0，y＞0，2x＋3y＝6，所以xy＝(2x·3y)≤·＝·＝.当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝1时，xy取到最大值.答案：7．若点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．解析：因为点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，所以2m＋n＝1，所以＋＝＋＝4＋≥8.1答案：88．给出下列不等式：①x＋≥2；②≥2；③≥2；④>xy；⑤≥.其中正确的是________(写出序号即可)．解析：当x>0时，x＋≥2；当x<0时，x＋≤－2，①不正确；因为x与同号，所以＝|x|＋≥2，②正确；当x，y异号时，③不正确；当x＝y时，＝xy，④不正确；当x＝1，y＝－1时，⑤不正确．答案：②9．已知函数f(x)＝x＋.(1)已知x＞0，求函数f(x)的最小值；(2)已知x＜0，求函数f(x)的最大值；(3)已知x∈[2，4]，求f(x)的最值．解：(1)因为x＞0，所以x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立．所以f(x)的最小值为2.(2)因为x＜0，所以－x＞0.所以f(x)＝－≤－2＝－2，当且仅当－x＝，即x＝－1时等号成立．所以f(x)的最大值为－2.(3)设2≤x1＜x2≤4，则f(x1)－f(x2)＝x1＋－＝.因为2≤x1＜x2≤4，所以x1－x2＜0，x1x2－1＞0，x1x2＞0.所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．所以f(x)在[2，4]上是单调增函数．当x＝2时，f(x)有最小值；当x＝4时，f(x)有最大值.10.(1)若x＜3，求f(x)＝2x＋1＋的最大值；(2)已知x＞0，求f(x)＝的最大值．解：(1)因为x＜3，所以3－x＞0.又因为f(x)＝2(x－3)＋＋7＝－＋7，由基本不等式可得2(3－x)＋≥2＝2，当且仅当2(3－x)＝，即x＝3－时，等号成立，于是－≤－2，－＋7≤7－2，故f(x)的最大值是7－2.(2)f(x)＝＝.因为x＞0，所以x＋≥2＝2，所以0＜f(x)≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．故f(x)的最大值为1.[B能力提升]11．若0＜x＜，则函数y＝x的最大值为()A．1B.C.D.解析：选C.因为0＜x＜，所以1－4x2＞0，所以x＝×2x≤×＝，当且仅当2x＝，即x＝时等号成立，故选C.12．已知x≥，则f(x)＝有()A．最大值B．最小值2C．最大值1D．最小值1解析：选D.f(x)＝＝＝，因为x≥，所以x－2＞0，所以≥·2＝1，当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号．故f(x)的最小值为1.13．已知正常数a，b和正变数x，y，满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b的值．解：因为＋＝1，所以x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，又x＋y的最小值为18，所以(＋)2＝18.由得或14．(选做题)已知a，b为正实数，且＋＝2.(1)求a2＋b2的最小值；(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．解：(1)因为a，b为正实数，且＋＝2，所以＋＝2≥2，即ab≥(当且仅当a＝b时等号成立)．因为a2＋b2≥2ab≥2×＝1(当且仅当a＝b时等号成立)，所以a2＋b2的最小值为1.(2)因为＋＝2，所以a＋b＝2ab.因为(a－b)2≥4(ab)3，所以(a＋b)2－4ab≥4(ab)3，即(2ab)2－4ab≥4(ab)3，即(ab)2－2ab＋1≤0，(ab－1)2≤0.因为a，b为正实数，所以ab＝1.34