第三节几何概型A组基础题组1.(2019湖南益阳、湘潭调研)若正方形ABCD的边长为4,E为四边上任意一点,则AE的长度大于5的概率等于()A.132B.78C.38D.18答案D设M,N分别为BC,CD上靠近点C的四等分点,则当E在线段CM,CN(不包括M,N)上时,AE的长度大于5,因为正方形的周长为16,CM+CN=2,所以AE的长度大于5的概率为216=18,故选D.2.(2018湖南郴州第二次教学质量检测)如图是一边长为8的正方形苗圃图案,中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心,圆与圆之间是相切的,且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点,则该点取自黑色区域的概率为()A.π8B.π16C.1-π8D.1-π16答案C正方形的面积为82=64,内切圆半径为4,中间黑色大圆的半径为2,黑色小圆的半径为1,所以白色区域的面积为π×42-π×22-4×π×12=8π,所以黑色区域的面积为64-8π,所以在正方形图案上随机取一点,该点取自黑色区域的概率P=64-8π64=1-π8,故选C.3.从区间[0,1]内随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn答案C如图,数对(xi,yi)(i=1,2,…,n)表示的点落在边长为1的正方形OABC内(包括边界),两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分,不包括弧AC)内,则由几何概型的概率公式可得mn=14π12⇒π=4mn.故选C.4.(2019河南正阳模拟)已知圆C:x2+y2=1,直线l:y=k(x+2),在[-1,1]上随机选取一个数k,则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为()A.12B.2-❑√22C.3-❑√33D.2-❑√32答案C圆C:x2+y2=1的圆心C(0,0),半径r=1,圆心到直线l:y=k(x+2)的距离d=|0×k-0+2k|❑√k2+(-1)2=2|k|❑√k2+1,直线l与圆C相离时d>r,即2|k|❑√k2+1>1,解得k<-❑√33或k>❑√33,故所求的概率P=2×(1-❑√33)1-(-1)=3-❑√33.5.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案,它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理,展现了一种相互转化、相对统一的形式美.按照太极图的构图方法,在平面直角坐标系中,圆O被函数y=3sinπ6x的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图所示),其中小圆的半径均为1,现从大圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为.答案118解析函数y=3sinπ6x的图象与x轴相交于点(0,0),(6,0)和点(-6,0),则大圆的半径为6,面积为36π,而小圆的半径为1,两个小圆的面积和为2π,所以所求的概率是2π36π=118.6.如图所示,OA=1,在以O为圆心,OA为半径的半圆弧上随机取一点B,则△AOB的面积小于14的概率为.答案13解析 OA=1,若△AOB的面积小于14,则12×1×1×sin∠AOB<14,∴sin∠AOB<12,∴0<∠AOB<π6或5π6<∠AOB<π,∴△AOB的面积小于14的概率为13.7.(2018河北唐山五校联考)向圆(x-2)2+(y-❑√3)2=4内随机投掷一点,则该点落在x轴下方的概率为.答案16-❑√34π解析圆(x-2)2+(y-❑√3)2=4与x轴的交点坐标为(1,0),(3,0),设A(1,0),B(3,0),圆心C(2,❑√3),易得三角形ABC是边长为2的正三角形,所以圆(x-2)2+(y-❑√3)2=4在x轴下方的面积为4π6-❑√3=2π3-❑√3,则该点落在x轴下方的概率P=2π3-❑√34π=16-❑√34π.8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,在正方体内随机取一点M.(1)求四棱锥M-ABCD的体积小于16的概率;(2)求M落在三棱柱ABC-A1B1C1内的概率.解析(1)设四棱锥M-ABCD的高为h,令13S四边形ABCD·h=16, S四边形ABCD=1,∴h=12.若四棱锥M-ABCD的体积小于16,则h<12,即点M在正方体的下半部分,∴P=12V正方体V正方体=12.(2) V三棱柱=12×12×1=12,∴所求概率P1=V三棱柱V正方体=12.9.已知向量a=(2,1),b=(x,y).(1)若x∈{-1,0,1,2},y∈{-1,0,1},求向量a∥b的概率;(2)若x∈[-1,2],y∈[-1,1],求向量a,b的夹角是钝角的概率.解析(1)设“a∥b”为事件A,由a∥b,得x=2y.所有基本事件为(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(2,1),共12个基本事件.其中A={(0,0),(2,1)},包含2个基本事件.则P(A)=212=16,即向量a∥b的概率为16.(2)设“a,b的夹角是钝角”为事件B,由a,b的夹角是钝角,可得a·b<0,即2x+y<0,且x≠2y.基本事件为{(x,y)|{-1≤x≤2-1≤y≤1}所表示...
