专题强化练十五圆锥曲线中的热点问题一、选择题1．若双曲线－＝1(0＜λ＜1)的离心率e∈(1，2)，则实数λ的取值范围为()A.B．(1，2)C．(1，4)D.解析：易知c＝1，a＝，且e∈(1，2)，所以1＜＜2，得＜λ＜1.答案：D2．椭圆C：＋＝1的焦点在x轴上，点A，B是长轴的两端点，若曲线C上存在点M满足∠AMB＝120°，则实数m的取值范围是()A．(3，＋∞)B．[1，3)C．(0，)D．(0，1]解析：依题意，当0＜m＜3时，焦点在x轴上，要在曲线C上存在点M满足∠AMB＝120°，则≥tan60°，即≥，解得0＜m≤1.答案：D3.如图所示，点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是()A．(2，6)B．(6，8)C．(8，12)D．(10，14)解析：抛物线的准线l：x＝－2，焦点F(2，0)．由抛物线定义可得|AF|＝xA＋2，圆(x－2)2＋y2＝16的圆心为(2，0)，半径为4，所以三角形FAB的周长为|AF|＋|AB|＋|BF|＝(xA＋2)＋(xB－xA)＋4＝6＋xB.由抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16可得交点的横坐标为2.所以xB∈(2，6)，因此，8＜6＋xB＜12.答案：C4．(2018·山东德州一模)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点在抛物线y2＝16x的准线上，且双曲线的一条渐近线过点(，3)，则双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，由双曲线的一条渐近线过点(，3)，可得＝，①双曲线的一个焦点(－c，0)在抛物线y2＝16x的准线x＝－4上，可得c＝4，即有a2＋b2＝16，②由①②解得a＝2，b＝2，则双曲线的方程为－＝1.答案：C二、填空题5．(2018·山西太原一模)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为________．解析：由过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，可得＜2，所以e＝＝＜＝，因为e＞1，所以1＜e＜，所以此双曲线离心率的取值范围为(1，)．答案：(1，)6．(2018·济南模拟)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作x轴，y轴垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．解析：不妨设A(x1，y1)(y1＞0)，B(x2，y2)，(y2＜0)．则|AC|＋|BD|＝x2＋y1＝＋y1.又y1y2＝－p2＝－4.所以|AC|＋|BD|＝－(y2＜0)．设g(x)＝－，g′(x)＝，令g′(x)＜0，得x＜－2，令g′(x)＞0得－2＜x＜0.所以g(x)在(－∞，－2)递减，在(－2，0)递增．所以当x＝－2，即y2＝－2时，|AC|＋|BD|取最小值为3.答案：3三、解答题7．已知动圆M恒过点(0，1)，且与直线y＝－1相切．(1)求动圆心M的轨迹方程；(2)动直线l过点P(0，－2)，且与点M的轨迹交于A，B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点．(1)解：由题意得点M与点(0，1)的距离等于点M与直线y＝－1的距离．由抛物线定义知圆心M的轨迹为以点(0，1)为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线，则＝1，所以p＝2.所以圆心M的轨迹方程为x2＝4y.(2)证明：由题意知直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(－x2，y2)，由得x2－4kx＋8＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝8.kAC＝＝＝，直线AC的方程为y－y1＝(x－x1)．即y＝y1＋(x－x1)＝x－＋＝x＋，因为x1x2＝8，所以y＝x＋2，则直线AC恒过点(0，2)．8．(2018·西安质检)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，直线x＋y－1＝0被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为.(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(4，0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的取值范围．解：(1)原点到直线x＋y－1＝0的距离为，由题得＋＝b2(b＞0)，解得b＝1.又e2＝＝1－＝，得a＝2.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)当直线l的斜率为0时，λ＝|MA|·|MB|＝12.当直线l的斜率不为0时，设直线l：x＝my＋4，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组化简得(m2＋4)y2＋8my＋12＝0.由Δ＝64m2－48(m2＋4)＞0，得m2＞12，所以y1y2＝.λ＝|MA|·|MB|＝|y1|·|y2|＝(m2＋1)|y1y2|＝＝12.由m2＞12，得0＜＜，所以＜λ＜12.综上可得，＜λ≤12，即λ∈.9．(2018·惠州调研)在平面直角坐标系xOy中，过点...
