2.2.4圆锥曲线的统一定义课时过关·能力提升1.如果平面π与圆锥面的母线平行,那么它们交线的离心率是()A.1B.2C.12D.无法确定解析:由题意,知交线为抛物线,故其离心率为1.答案:A2.若双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分,则它的离心率为()A.√2B.√3C.√62D.2√3解析:设双曲线的实轴长为2a,焦距为2c.由题意知2c=2a2c·3,则e=ca=√3.答案:B3.设△ABC是等腰三角形,∠ABC=120°,则以A,B为焦点,且过点C的双曲线的离心率为()A.1+√22B.1+√32C.1+√2D.1+√3解析:如图,双曲线的焦距2c=AB,在△ABC中,BC=AB=2c,∠ABC=120°,则AC=√3AB=2√3c,所以双曲线的实轴长2a=AC-CB=2√3c-2c,整理得ca=1+√32,即双曲线的离心率e=1+√32.答案:B1★4.已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且PF1=4PF2,则此双曲线的离心率e的最大值为()A.43B.53C.2D.73解析:设双曲线的实轴长为2a,焦距为2c,由于点P在双曲线的右支上,则PF1-PF2=2a,所以4PF2-PF2=2a,所以PF2=23a,PF1=83a.因为PF1+PF2≥F1F2,所以83a+23a≥2c,整理得ca≤53,所以双曲线的离心率e的最大值为53.答案:B5.已知圆锥面的母线与轴的夹角为60°,平面π与轴的夹角为45°,则平面π与圆锥交线的离心率是,该曲线的形状是.解析:∵e=cos45°cos60°=√2>1,∴该曲线为双曲线.答案:√2双曲线6.已知椭圆两条准线间的距离为20,长轴长为10,则短轴长为.解析:设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c.由{2a=10,2a2c=20,得{a=5,c=52,∴2b=2√a2-c2=5√3.答案:5√37.已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,P是右准线l上的一点,且PF1⊥PF2,PF1·PF2=4ab,a是实半轴长,b是虚半轴长,求双曲线的离心率.2解:如图.设l与F1F2交于点K,则F1K=c+a2c,KF2=c-a2c,其中c是焦距的一半.在△PF1F2中,∠F1PF2=90°,PK⊥F1F2,则PF1=√F1K·F1F2=√(c+a2c)·(2c)=√2(c2+a2),PF2=√KF2·F1F2=√(c-a2c)·(2c)=√2(c2-a2)=√2b.又PF1·PF2=4ab,所以√2(c2+a2)·√2b=4ab,即2√c2+a2=4a,解得c2a2=3,所以e2=3,则e=±√3.又e>1,故e=√3.即双曲线的离心率为√3.★8.如图,F1,F2是双曲线的左、右焦点,双曲线的长轴长2a=8,离心率e=2,点A是双曲线右支内部的一点,且AF2=2,P是双曲线右支上任意一点,当PA+12PF2取最小值时,确定点P的位置.解:如图,设直线l是双曲线的准线,过点P,A分别作直线l的垂线,垂足分别是M,N,AN与双曲线交于点Q,由于双曲线的离心率e=2,3则PF2PM=2,所以PM=12PF2,所以PA+12PF2=PA+PM.又PM+PA≥AN=QA+QN,所以当P与Q重合时,PA+12PF2取最小值.即当PA+12PF2取最小值时,PA垂直于双曲线的准线.4
