第2章25知能优化训练-(2)VIP免费

1．已知双曲线3x2－y2＝9，则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于________．解析： 3x2－y2＝9，∴－＝1.∴a＝，b＝3，c＝2.∴e＝＝2.答案：22．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则下列说法正确的是________．(填序号)①|FP1|＋|FP2|＝|FP3|；②|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2；③|FP1|＋|FP3|＝2|FP2|；④|FP2|2＝|FP1|·|FP3|.解析：由题意得|FP1|＝x1＋，|FP2|＝x2＋，|FP3|＝x3＋.再由2x2＝x1＋x3得2＝＋，即2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|.答案：③3．如果双曲线的两个焦点分别为F1(－3,0)，F2(3,0)，一条渐近线方程为y＝x，那么它的两条准线之间的距离为________．解析：由题意得c＝3，＝，∴a＝，∴d＝＝2.答案：24．方程＝|x＋y＋2|表示的曲线是________．解析：利用圆锥曲线的统一定义判断．设P(x，y)，A(1,1)，由于直线l：x＋y＋2＝0，因此|PA|＝d(d为点p到直线l的距离)，∴e＝＝>1.∴点P的轨迹是双曲线．故填双曲线．答案：双曲线一、填空题1．已知双曲线－y2＝1(a>0)的一条准线方程为x＝，则双曲线的离心率为________．解析：由双曲线的准线方程求基本量的值，进而求出离心率． 准线方程为x＝，∴＝.①又 b2＝1，∴c2＝a2＋1.②由①②得a＝，c＝2，∴e＝＝.故填.答案：2．设椭圆＋＝1(m>1)上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P到右准线的距离为________．解析： m2>m2－1，∴m2＝a2，m2－1＝b2.∴c2＝1.又3＋1＝2a，∴a＝2.∴e＝.∴d＝＝＝2.答案：23．如图所示，P是椭圆＋＝1上任意一点，F是椭圆的左焦点，且OQ＝(OP＋OF)，|OQ|＝4，则点P到该椭圆左准线的距离为________．解析：因为OQ＝(OP＋OF)，所以Q为线段PF的中点．因为|OQ|＝4，所以点P到右焦点F′的距离为8.所以|PF|＝2×5－8＝2.又因为＝e＝＝，所以d＝.答案：4．(2010年高考江西卷)点A(x0，y0)在双曲线－＝1的右支上，若点A到右焦点的距离等于2x0，则x0＝________.解析：由－＝1知，a＝2，b＝4，∴c＝6，∴e＝＝3，∴＝＝，由双曲线的第二定义知＝e，即＝3，解得x0＝2.答案：25．已知椭圆的两个焦点将长轴三等分，焦点到相应准线的距离为8，则该椭圆的长轴长为________．解析：由题意得解得a＝3，∴2a＝6.答案：66．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点，点A的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是________．解析：如图所示，抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2.因为l过抛物线的焦点，所以xA·xB＝＝＝4，即xB＝.所以线段AB的中点的横坐标为.所以中点到准线的距离为＋2＝.答案：7．如果双曲线－＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是________．解析： 双曲线的离心率e＝＝，由双曲线的定义知，P点到右准线的距离d＝＝＝，∴P点到y轴的距离为.答案：8．若双曲线－＝1(a>0，b>0)上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：设e为双曲线离心率，c为半焦距，且a>0，则e>a＋，∴－＋<0，∴2－－1>0，∴3e2－5e－2>0，即(3e＋1)(e－2)>0.又e>1，∴e>2.答案：(2，＋∞)二、解答题9．已知双曲线－＝1的右焦点为F，点A(9,2)，试在这个双曲线上求一点M，使|MA|＋|MF|的值最小，并求出这个最小值．解：如图所示，l为双曲线的右准线，M为双曲线上任意一点，分别作MN⊥l，AB⊥l交于N、B两点． 离心率e＝，∴由双曲线的统一定义有＝e，即|MN|＝|MF|.∴|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MN|≥|AB|.当且仅当M为AB与双曲线右支的交点时，|MA|＋|MF|取得最小值．此时，点M的坐标为，最小值为9－＝9－＝.10．双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率e的取值范围．解：如图所示，设M(x0，y0)是双曲线右支上满足条件的点，且它到右焦点F2的距离等于它到左准线的距离|MN|，即|MF2|＝|MN|.由圆锥曲线统一定义可知＝e，∴|MF1|＝e|MN|＝e|MF2|.∴＝e.∴x0＝.又x0≥a，∴≥a.即e2－2e－1≤0，解得1－≤e≤＋1，又e>1，∴1