3.3排序不等式课后训练1．已知a，b，c∈R＋，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是()．A．大于零B．大于或等于零C．小于零D．小于或等于零2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边依次为a，b，c则aAbBcCabc＋＋＋＋__________π3.(填“≥”或“≤”)3．已知a，b，c都是正数，则abcbccaab＋＋＋＋＋________.4．设x，y，z∈R＋，求证：2222220zxxyyzxyyzzx－－－＋＋＋＋＋.5．设a，b，c为某三角形三边长，求证：a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤3abc.6．设a，b，c是正实数，求证：3()abcabcabcabc＋＋.7．设a，b，c都是正实数，用排序不等式证明：2222abcabcbccaab＋＋＋＋＋＋＋.8．设a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn为任意两组实数，如果a1≤a2≤…≤an，且b1≤b2≤…≤bn，求证：11221212nnnnabababaaabbbnnn＋＋＋＋＋＋＋＋＋当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，等号成立．设a，b，c∈R＋，求证：222222222222abbccaabcabccabbccaab＋＋＋＋＋＋＋＋＋.参考答案1.答案：B解析：设a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3，根据排序原理，得a3×a＋b3×b＋c3×c≥a3b＋b3c＋c3a.又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab.所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.2.答案：≥解析：不妨设a≥b≥c，则有A≥B≥C.由排序不等式可得1aA＋bB＋cC≥aA＋bB＋cC，aA＋bB＋cC≥aB＋bC＋cA，aA＋bB＋cC≥aC＋bA＋cB.将以上三个式子两边分别相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝(a＋b＋c)π，所以π3aAbBcCabc＋＋＋＋.3.答案：32解析：设a≥b≥c＞0，所以111bccaab＋＋＋.由排序原理，知abcbcabccaabbccaba＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋，①abccabbccaabbccaab＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋.②①＋②，得32abcbccaab＋＋＋＋＋.4.证明：所证不等式等价于222zyxxyxzyz＋＋＋＋＋222xyzxyyzzx＋＋＋＋＋.不妨设x≤y≤z，则x2≤y2≤z2，x＋y≤x＋z≤y＋z.则111xyxzyz＋＋＋.于是上式的左边为顺序和，右边为乱序和，由排序不等式知此式成立．5.证明：不妨设a≥b≥c＞0.易证a(b＋c－a)≤b(c＋a－b)≤c(a＋b－c)．根据排序原理，得a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤a×b(c＋a－b)＋b×c(a＋b－c)＋c×a(b＋c－a)≤3abc.6.证明：不妨设a≥b≥c＞0，则lga≥lgb≥lgc，据排序不等式，有alga＋blgb＋clgc≥blga＋clgb＋algc，alga＋blgb＋clgc≥clga＋algb＋blgc，且alga＋blgb＋clgc＝alga＋blgb＋clgc，以上三式相加整理，得3(alga＋blgb＋clgc)≥(a＋b＋c)(lga＋lgb＋lgc)，即lg(aabbcc)≥lg3abc＋＋(abc)．故3()abcabcabcabc＋＋.27.证明：不妨设a≥b≥c，则a2≥b2≥c2，且111bccaab＋＋＋，由排序原理，得222abcbccaab＋＋＋＋＋222bcabccaab＋＋，＋＋＋222abcbccaab＋＋＋＋＋222cabbccaab＋＋＋＋＋，两式相加得2222abcbccaab＋＋＋＋＋222222bccaabbccaab＋＋＋＋＋＋＋＋.(*)又由柯西不等式得(1·b＋1·c)2≤(12＋12)(b2＋c2)，∴222bcbcbc＋＋＋.同理，222222cacaababcaab＋＋＋＋，＋＋.因此，代入(*)式得2222abcbccaab＋＋＋＋＋≥a＋b＋c，因此，不等式得证．8.证明：由题设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，则由排序原理得a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥a1b2＋a2b3＋…＋anb1，a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥a1b3＋a2b4＋…＋an－1b1＋anb2，…a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥a1bn＋a2b1＋…＋anbn－1．将上述n个式子相加，两边同除以n2，得：11221212nnnnabababaaabbbnnn＋＋＋＋＋＋＋＋＋当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，等号成立．9.证明：不妨设a≥b≥c＞0，于是a2≥b2≥c2，111cba，应用排序不等式，得a2×1a＋b2×1b＋c2×1c≤a2×1b＋b2×1c＋c2×1a，a2×1a＋b2×1b＋c2×1c≤a2×1c＋b2×1a＋c2×1b.3以上两个同向不等式相加再除以2，即得222222222abbccaabccab＋＋＋＋＋＋＋.再由数组a3≥b3≥c3＞0，111bccaab，仿上可证222222abbcca＋＋＋222222caabcbbccaab＋＋＋＋.综上，可证222222222222abbccaabcabccabbccaab＋＋＋＋＋＋＋＋＋.4
