第六章数列第1讲数列的概念与简单表示法一、填空题1．已知数列，1，，，，…，，…，则3是它的第_______项．解析3＝＝.答案232．已知函数y＝anx2(an≠0，n∈N*)的图象在x＝1处的切线斜率为2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，且当n＝1时其图象过点(2,8)，则a7的值为________．解析由题知y′＝2anx，∴2an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，∴an－an－1＝，又n＝1时其图象过点(2,8)，∴a1×22＝8，得a1＝2，∴{an}是首项为2，公差为的等差数列，an＝＋，得a7＝5.答案53．已知数列{an}满足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则a2＝________；an＝________.解析由an＝n(an＋1－an)，可得＝，则an＝···…··a1＝×××…××1＝n，∴a2＝2，an＝n.答案2；n4．数列{an}的通项an＝，则数列{an}中的最大值是________．解析因为an＝，运用基本不等式得，≤，由于n∈N*，不难发现当n＝9或10时，an＝最大．答案5．设函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是________．解析 数列{an}是递增数列，又an＝f(n)(n∈N*)，∴⇒2
0，解得n>6或n<1(舍)．∴从第7项起各项都是正数．12．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．解(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，∴{Sn－3n}是等比数列，因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*.①(2)由①知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2＝2n－2，当n≥2时，an＋1≥an⇔12·n－2＋a－3≥0⇔a≥－9.又a2＝a1＋3>a1.综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞)．13．设数列{bn}满足：b1＝，bn＋1＝b＋bn，(1)求证：＝－；(2)若Tn＝＋＋…＋，对任意的正整数n,3Tn－log2m－5>0恒成立．求m的取值范围．解(1) b1＝，bn＋1＝b＋bn＝bn(bn＋1)，∴对任意的n∈N*，bn>0.∴＝＝－，即＝－.(2)Tn＝＋＋…＋＝－＝2－. bn＋1－bn＝b>0，∴bn＋1>bn，∴数列{bn}是单调递增数列．∴数列{Tn}关于n递增．∴Tn≥T1. b1＝，∴b2＝b1(b1＋1)＝.∴T1＝2－＝.∴Tn≥. 3Tn－log2m－5>0恒成立．∴log2m<－3，∴0
