3．2.3空间向量与空间角角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，则cosθ＝|cos〈a，b〉|＝________直线与平面所成的角设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝________角的分类向量求法范围二面角设二面角αlβ的平面角为θ，平面α、β的法向量为n1，n2，则|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|＝________想一想：二面角alβ的平面角为θ，平面α、β的法向量分别为n1，n2，如何去掉|cosθ|中的绝对值号？基础梳理[0，π]想一想：当n1，n2所在的角与θ相等时，cosθ＝cos〈n1，n2〉；当n1，n2所成角与θ互补时，cosθ＝－cos〈n1，n2〉．1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于()A．30°B．60°C．150°D．以上均错2．正方体ABCDA1B1C1D1中，BD1与AA1所成角的余弦为()A.B.C.D．13．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为()A．30°B．45°C．135°D．45°或135°自测自评1．B2.A3．解析：(1)cos〈m，n〉＝＝＝，所以〈m，n〉＝45°.所以二面角为45°或135°.答案：D1．已知线段AB的两个端点的坐标分别为A(9，－3，4)和，则线段AB()A．与平面xOy平行B．与平面xOz平行C．与平面zOy平行D．与平面xOy或zOy平行1．C12．已知A∈α，P∉α，PA＝，平面α的一个法向量n＝，则直线PA与平面α所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．150°2．解析：设直线PA与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈PA，n〉|＝＝.∴θ＝60°.答案：C3．(2014·重庆高二检测)设ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥平面ABCD，则异面直线AC与BF所成的角等于()A．45°B．30°C．90°D．60°3．解析：以B为原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，C(0，1，0)，F(1，0，1)，所以AC＝(－1，1，0)，BF＝(1，0，1)．所以cos
＝－.所以＝120°.所以AC与BF所成的角为60°.答案：D4．已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝3，AB＝2，BC＝，则二面角PBDA的正切值为________．4.5．正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°5．解析：如图所示建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1.则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)．于是AD＝(0，1，0)．取PD中点为E，则E，∴AE＝，易知AD是平面PAB的法向量，AE是平面PCD的法向量，∴cos〈AD，AE〉＝，∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°.答案：B6．(2014·新课标全国卷Ⅱ)直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为()A.B.C.D.26．解析：以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴，则设CA＝CB＝1，则B(0，1，0)，M，A(1，0，0)，N，故BM＝，AN＝，所以cos〈BM，AN〉＝＝＝，故选C.答案：C7．如图，在三棱锥OABC中，OA＝OB＝OC＝1，∠AOB＝90°，OC⊥平面AOB，D为AB的中点，则OD与平面OBC的夹角为________．7．解析： OA⊥平面OBC，∴OA是平面OBC的一个法向量．而D为AB的中点，OA＝OB，∴∠AOD＝〈OD，OA〉＝45°.∴OD与平面OBC所成的角θ＝90°－45°＝45°.答案：45°8．如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝1，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为________．8．解析：取AC、A1C1中点O、E，则OB⊥AC，OE⊥平面ABC，以O为原点OA、OB、OE为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，在正三角形ABC中，BO＝AB＝，所以A，B，D，所以AD＝，又平面AA1C1C的一个法向量为e＝(0，1，0)，设直线AD与平面3AA1C1C所成角为θ，则sinθ＝|cosAD，e|＝＝.答案：9．正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．9．解析：建立如图所示的空间直角坐标系则A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，a)，C1.方法一取A1B1的中点M，连接AM，MC1，则M.有MC1＝，AB＝(0，a，0)，AA1＝.所以MC1·AB＝0，MC1·AA1＝0，所以MC1⊥AB，MC1⊥AA1，即MC1⊥AB，M...
