选修4－1几何证明选讲第1课时相似三角形的进一步认识(理科专用)1.在Rt△ABC中，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，该图中共有几个三角形与△ABC相似？解：△ACD、△CBD与△ABC相似，共2个．2.如图，在△ABC和△DBE中，＝＝＝，若△ABC与△DBE的周长之差为10cm，求△ABC的周长．解：利用相似三角形的相似比等于周长比可得△ABC的周长为25cm.3.在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且DE∥BC，△ADE的面积是2cm2，梯形DBCE的面积为6cm2，求DE∶BC的值．解：△ADE∽△ABC，利用面积比等于相似比的平方可得DE∶BC＝1∶2.4.如图，在△ABC中，∠A＝90°，正方形DEFG的边长是6cm，且四个顶点都在△ABC的各边上，CE＝3cm，求BC的长．解：∵四边形DEFG是正方形，∴∠GDB＝∠FEC＝90°，GD＝DE＝EF＝6cm.∵∠B＋∠C＝90°，∠B＋∠BGD＝90°，∴∠C＝∠BGD，∴△BGD∽△FCE，∴＝，即BD＝＝12cm，∴BC＝BD＋DE＋EC＝21cm.5.如图，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，求＋的值．解：由EF∥BC得＝，由FG∥AD得＝，所以＋＝＋＝＝1.6.如图，在△ABC中，D为BC边上中点，延长BA到E，使AE＝EB，连结DE，交AC于F.求AF∶FC值．解：过D点作DP∥AC(如图)，因为D是BC的中点，所以P为AB的中点，且DP＝AC.又AE＝EB，所以AE＝AP，所以AF＝DP＝AC，所以AF∶FC＝1∶3.7.如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12.求BE的长．解：因为AE⊥BC，所以∠AEB＝∠ACD＝90°.因为∠B＝∠D，所以△AEB∽△ACD，所以＝，所以AE＝＝＝2.在Rt△AEB中，BE＝＝＝4.8.如图，在△ABC中，D是AC中点，E是BD三等分点，AE的延长线交BC于F.求的值．解：过D点作DM∥AF交BC于M.因为DM∥AF，所以＝＝.因为EF∥DM，所以＝，即S△BDM＝9S△BEF.又＝，即S△DMC＝S△BDM＝6S△BEF，所以S四边形DEFC＝14S△BEF，因此＝.9.如图，若AD是△ABC中∠A的平分线，EF是AD的中垂线且交BC的延长线与F点．求证：FD2＝FC·FB.解：如图，连结FA.∵EF是AD的中垂线，∴AF＝DF，∴∠2＋∠3＝∠4＝∠1＋∠B.而∠1＝∠2，∴∠3＝∠B.又∠AFB共用，∴△FAC∽△FBA.∴＝.∴AF2＝BF·CF，即DF2＝BF·CF.10.如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC到D，使CD＝BC，CE⊥BD，交AD于E，连结BE，交AC于点F.求证：AF＝FC.证明：取BC的中点H，连结AH.∵AB＝AC，∴AH⊥BC.∵CE⊥BD，∴AH∥EC.∵CD＝BC，∴CD＝2CH.则DE＝2AE.取ED的中点M，连结CM.则ME＝AE.∵C为BD的中点，∴CM∥BE.则F为AC的中点，即AF＝FC.11.如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE的延长线交BC于F.(1)求的值；(2)若△BEF的面积为S1，四边形CDEF的面积为S2，求S1∶S2的值．解：(1)过D点作DG∥BC，交AF于G点，∵E是BD的中点，∴BE＝DE.又∠EBF＝∠EDG，∠BEF＝∠DEG，∴△BEF≌△DEG，则BF＝DG，∴BF∶FC＝DG∶FC.∵D是AC的中点，则DG∶FC＝1∶2，则BF∶FC＝1∶2.(2)若△BEF以BF为底，△BDC以BC为底，由(1)知BF∶BC＝1∶3，又由BE∶BD＝1∶2可知h1∶h2＝1∶2，其中h1、h2分别为△BEF和△BDC的高，则＝×＝，则S1∶S2＝.
