课时分层作业(十八)曲线与方程(建议用时：40分钟)一、选择题1．f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C[由曲线与方程的概念可知，若点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上，则必有f(x0，y0)＝0；又当f(x0，y0)＝0时，点P(x0，y0)也一定在方程f(x，y)＝0对应的曲线上，故选C．]2．方程x2＋y2＝1(xy＜0)的曲线形状是()ABCDC[方程x2＋y2＝1(xy＜0)表示以原点为圆心，1为半径的圆在第二、四象限的部分．]3．方程x2＋2y2＋2x－2y＋＝0表示的曲线是()A．一个点B．一条直线C．一个圆D．两条线段A[方程可化为(x＋1)2＋2＝0，所以即它表示点．故选A．]4．已知0≤α＜2π，点P(cosα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为()A．B．C．或D．或C[由(cosα－2)2＋sin2α＝3，得cosα＝．又0≤α＜2π，∴α＝或α＝．]5．在平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足OC＝λ1OA＋λ2OB(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是()A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线A[设C(x，y)，则OC＝(x，y)，OA＝(3,1)，OB＝(－1,3)， OC＝λ1OA＋λ2OB，∴解得1又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．]二、填空题6．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的图形是．两个点(1,1)或(－1，－1)[由题意所以或所以方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的是两个点(1,1)或(－1，－1)．]7．动点P与平面上两定点A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－，则动点P的轨迹方程为．x2＋2y2－2＝0(x≠±)[设P(x，y)，由题意知，x≠±，kAP＝，kBP＝，由条件知kAP·kBP＝－，所以×＝－，整理得x2＋2y2－2＝0(x≠±)．]8．在直角坐标平面xOy中，过定点(0,1)的直线l与圆x2＋y2＝4交于A，B两点．若动点P(x，y)满足OP＝OA＋OB，则点P的轨迹方程为．x2＋(y－1)2＝1[设AB的中点为M，则OM＝OP，M．又因为OM⊥AB，AB的方向向量为，OM＝，所以·＝0，x2＋y(y－2)＝0，即x2＋(y－1)2＝1．]三、解答题9．曲线x2＋(y－1)2＝4与直线y＝k(x－2)＋4有两个不同的交点，求k的范围，若有一个交点、无交点呢？[解]由得(1＋k2)x2＋2k(3－2k)x＋(3－2k)2－4＝0，Δ＝4k2(3－2k)2－4(1＋k2)[(3－2k)2－4]＝48k－20．所以Δ＞0，即k＞时，直线与曲线有两个不同的交点；Δ＝0，即k＝时，直线与曲线有一个交点；Δ＜0，即k＜时，直线与曲线没有交点．10．设点P是圆x2＋y2＝4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP0，垂足为P0，且MP0＝PP0，求点M的轨迹C的方程．[解]设点M(x，y)，P(x0，y0)，则由题意知P0(x0,0)．由MP0＝(x0－x，－y)，PP0＝(0，－y0)，且MP0＝PP0，得(x0－x，－y)＝(0，－y0)，所以于是又x＋y＝4，所以x2＋y2＝4，所以，点M的轨迹C的方程为＋＝1．211．(多选题)给出下列结论：其中错误的是()A．方程＝1表示斜率为1，在y轴上截距为－2的直线B．到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2C．方程|x－3|＋(y2－9)2＝0表示两个点D．到两坐标轴距离之和为a(a＞0)的点M的轨迹方程为x＋y＝a(a＞0)ABD[对于A，方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线且去掉点(2,0)，所以A错误；对于B，到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2或y＝2，所以B错误；对于C，方程|x－3|＋(y2－9)2＝0表示(3，－3)，(3,3)两个点，所以C正确；对于D轨迹方程应为|x|＋|y|＝a(a＞0)．]12．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于，则动点P的轨迹方程为()A．x2－3y2＝－2B．x2－3y2＝－2(x≠±1)C．x2－3y2＝2D．x2－3y2＝2(x≠±1)B[设P(x，y)，由于点B与点A(－1,1)关于原点O对称，所以B(1，－1)．kPA＝(x≠－1)，kPB＝(x≠1)，因为kPA·kPB＝，所以·＝．整理得x2－3y2＝－2(x≠±1)．]13．(一题两空)已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足条件|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹方程为，P点轨迹所围成的图形的面积为．(x－2)2＋y2＝44π[设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|知，＝2化简整理得(x－2)2＋y2＝4，所以动点P的轨迹为圆心为(2,0)，半径为2的圆，此圆的面积为S＝22π＝4π．]14．已知sinθ，cosθ是方程x2－ax＋b＝0的两根...
