（新课标）高考数学一轮总复习 考点集训（二十八）第28讲 平面向量的数量积 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

考点集训(二十八)第28讲平面向量的数量积对应学生用书p231A组题1．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则AB·AC等于()A．－B．－C.D.[解析]在△ABC中，cos∠BAC＝＝＝，∴AB·AC＝|AB||AC|cos∠BAC＝3×2×＝.[答案]D2．已知向量a＝(cos75°，sin75°)，b＝(cos15°，sin15°)，则向量a与向量b的夹角为()A．90°B．0°C．45°D．60°[解析]cosθ＝＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝cos60°，所以θ＝60°.[答案]D3．已知向量a＝(1，0)，|b|＝，a与b的夹角为45°，若c＝a＋b，d＝a－b，则c在d方向上的投影为()A.B．－C．1D．－1[解析] a·b＝|a|·|b|cos45°＝1××＝1，|d|＝|a－b|＝＝＝＝1，c·d＝a2－b2＝－1，∴|c|cosθ＝＝＝－1.[答案]D4．已知向量a＝(m，2)，b＝(2，－1)，且a⊥b，则等于()A．－B．1C．2D.[解析] a⊥b，∴2m－2＝0，∴m＝1，则2a－b＝(0，5)，a＋b＝(3，1)，∴a·(a＋b)＝1×3＋2×1＝5，|2a－b|＝5，∴＝＝1，故选B.[答案]B5．在△ABC中，已知|AB|＝4，|AC|＝1，S△ABC＝，则AB·AC的值为________．[解析] S△ABC＝＝×4×1×sinA，∴sinA＝，∴cosA＝±，∴AB·AC＝4×1×＝±2.[答案]±26．已知向量AB，AC的夹角是120°，且|AB|＝2，|AC|＝3，若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值是________．[解析]BC＝AC－AB， AP⊥BC，∴AP·BC＝0⇒·＝0，即－λAB2＋AC2＋AB·AC＝0，① AB2＝4，AC2＝9，AB·AC＝·cos∠BAC＝－3，∴①式变为：－4λ＋9－3＝0，解得λ＝.[答案]7．在△ABC中，|AB＋AC|＝|AB－AC|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则AE·AF等于________．[解析]由|AB＋AC|＝|AB－AC|，化简得AB·AC＝0，又因为AB和AC为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB与AC垂直，所以△ABC为直角三角形．以A为原点，以AC所在直线为x轴，以AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)．不妨令E为BC的靠近C的三等分点，则E，F，所以AE＝，AF＝，所以AE·AF＝×＋×＝.[答案]8．已知平面上三点A，B，C，BC＝(2－k，3)，AC＝(2，4)．(1)若A，B，C三点不能构成三角形，求实数k应满足的条件；(2)若△ABC为直角三角形，求k的值．[解析](1)由A，B，C三点不能构成三角形，得A，B，C在同一直线上，即向量BC与AC平行，∴4(2－k)－2×3＝0，解得k＝.(2) BC＝(2－k，3)，∴CB＝(k－2，－3)，∴AB＝AC＋CB＝(k，1)．若△ABC为直角三角形，则当A是直角时，AB⊥AC，即AB·AC＝0，∴2k＋4＝0，解得k＝－2；当B是直角时，AB⊥BC，即AB·BC＝0，∴k2－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1；当C是直角时，AC⊥BC，即AC·BC＝0，∴16－2k＝0，解得k＝8.综上得k的值为－2，－1，3，8.B组题1．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·(PB＋PC)的最小值是()A．－2B．－C．－D．－1[解析]如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则PA＝(－x，－y)，PB＝(－1－x，－y)，PC＝(1－x，－y)，所以PA·(PB＋PC)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2－，当x＝0，y＝时，PA·(PB＋PC)取得最小值，为－.[答案]B2．(多选)在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝，则CM·CN的值不可能是()A．3B．5C．6D．7[解析]以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(3，0)，B(0，3)，∴AB所在直线的方程为＋＝1，则y＝3－x.设M(a，3－a)，N(b，3－b)，且0≤a≤3，0≤b≤3，不妨设a＞b， MN＝，∴(a－b)2＋(b－a)2＝2，∴a－b＝1，∴a＝b＋1，∴0≤b≤2，∴CM·CN＝(a，3－a)·(b，3－b)＝2ab－3(a＋b)＋9＝2(b2－2b＋3)＝2(b－1)2＋4，又0≤b≤2，∴CM·CN的取值范围是[4，6]．[答案]AD3．已知向量AB＝(6，1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2，－3)．(1)若BC∥DA，求x与y之间的关系式；(2)在(1)的条件下，若AC⊥BD，求x，y的值及四边形ABCD的面积．[解析](1) AD＝AB＋BC＋CD＝(x＋4，y－2)，∴DA＝－AD＝(－x－4，2－y)，又BC∥DA且BC＝(x，y)，∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，即x＋2y＝0.①(2)由于AC＝AB＋BC＝(x...