2016-2017学年高中数学第三章推理与证明1归纳与类比1.1归纳推理课后演练提升北师大版选修1-2一、选择题1．如图所示是一串黑白相间排列的珠子，按这种规律往下排列，那么第36颗珠子的颜色是()A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大解析：由图可知，三白二黑周而复始相继排列．因为36÷5＝7余1，所以第36颗珠子的颜色与第一颗珠子的颜色相同，即为白色．答案：A2．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是()A．ak＋ak＋1＋…＋a2kB．ak－1＋ak＋…＋a2k－1C．ak－1＋ak＋…＋a2kD．ak－1＋ak＋…＋a2k－2解析：利用归纳推理可知，第k项中第一个数为ak－1，且第k项中有k项，且次数连续，故第k项为ak－1＋ak＋…＋a2k－2.答案：D3．观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52011的末四位数字为()A．3125B．5625C．0625D．8125解析：∵55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625,59＝1953125,510＝9765625，…∴5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字为f(n)，则f(2011)＝f(501×4＋7)＝f(7)．∴52011与57的末四位数字相同，均为8125，故选D.答案：D4．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形的对角线条数f(n＋1)等于()A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2解析：凸n＋1边形的对角线条数f(n＋1)可看作是凸n边形的对角线条数f(n)加上从第n＋1个顶点出发的n－2条对角线和凸n边形的一条边之和，即f(n＋1)＝f(n)＋(n－2)＋1＝f(n)＋n－1.答案：C二、填空题5．已知＝2，＝3，＝4，…，若＝6(a，b均为实数)，请推测a＝____________，b＝________.解析：由三个等式知，左边被开方式中整数和分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测＝6中，a＝6，b＝62－1＝35，即a＝6，b＝35.答案：6356．根据下图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有________个点．1解析：观察图形的增长规律可得：图(2)从中心点向两边各增长1个点，图(3)从中心点向三边各增长2个点，图(4)从中心点向四边各增长3个点，如此，第n个图从中心点向n边各增长(n－1)个点，易得答案：1＋n·(n－1)＝n2－n＋1.本题若从图形的数值变化方面入手也可归纳出结果，但没有从图形的结构方面入手直接．答案：n2－n＋1三、解答题7．观察下表，填表后再解答问题：(1)完成下列表格：序号123…图形…◎的个数824…☆的个数14…(2)试求第几个图形中“◎”的个数和“☆”的个数相等？解析：(1)16,9；(2)设第n个图形中“◎”的个数和“☆”的个数相等．观察图形可知8n＝n2，解得n＝8或n＝0(舍去)．所以第8个图形中“◎”的个数和“☆”的个数相等．8．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)．(1)求a2，a3，a4；(2)猜测a5及数列{an}的通项公式．解析：(1)a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝.(2)猜想a5＝＝，由(1)猜想an的通项公式为an＝.9．如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则在第n个图形中共有顶点多少个？解析：第1个图形中共有顶点12个，第2个图形中共有顶点20个，第3个图形中共有2顶点30个．这几个图形中顶点个数的特征是12＝3×4,20＝4×5,30＝5×6，因此猜测第n个图形中共有顶点(n＋2)(n＋3)个．3
