第5讲两角和与差及二倍角的三角函数一、选择题1.(2015·全国Ⅰ卷)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A.－B.C.－D.解析sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝.答案D2.(1＋tan17°)(1＋tan28°)的值是()A.－1B.0C.1D.2解析原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°＝1＋tan45°(1－tan17°·tan28°)＋tan17°·tan28°＝1＋1＝2.答案D3.(2017·西安二检)已知α是第二象限角，且tanα＝－，则sin2α＝()A.－B.C.－D.解析因为α是第二象限角，且tanα＝－，所以sinα＝，cosα＝－，所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，故选C.答案C4.(2017·河南六市联考)设a＝cos2°－sin2°，b＝，c＝，则有()A.a＜c＜bB.a＜b＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b解析由题意可知，a＝sin28°，b＝tan28°，c＝sin25°，∴c＜a＜b.答案D5.(2016·铜川三模)已知sinα＝且α为第二象限角，则tan＝()A.－B.－C.－D.－解析由题意得cosα＝－，则sin2α＝－，cos2α＝2cos2α－1＝.∴tan2α＝－，∴tan＝＝＝－.答案D二、填空题6.(2016·安庆模拟)若cos＝，则sin的值是________.解析sin＝sin＝cos2＝2cos2－1＝2×－1＝－.答案－7.(2017·南昌一中月考)已知α∈，β∈，且cos＝，sin＝－，则cos(α＋β)＝________.解析∵α∈，cos＝，∴sin＝－，∵sin＝－，∴sin＝，又∵β∈，∴cos＝，∴cos(α＋β)＝cos＝×－×＝－.答案－8.已知θ∈，且sin＝，则tan2θ＝________.解析sin＝，得sinθ－cosθ＝，①θ∈，①平方得2sinθcosθ＝，可求得sinθ＋cosθ＝，∴sinθ＝，cosθ＝，∴tanθ＝，tan2θ＝＝－.答案－三、解答题9.(2017·淮海中学模拟)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(2，－1).(1)若a⊥b，求的值；(2)若|a－b|＝2，θ∈，求sin的值.解(1)由a⊥b可知，a·b＝2cosθ－sinθ＝0，所以sinθ＝2cosθ，所以＝＝.(2)由a－b＝(cosθ－2，sinθ＋1)可得，|a－b|＝＝＝2，即1－2cosθ＋sinθ＝0.又cos2θ＋sin2θ＝1，且θ∈，所以sinθ＝，cosθ＝.所以sin＝(sinθ＋cosθ)＝＝.10.设cosα＝－，tanβ＝，π<α<，0<β<，求α－β的值.解法一由cosα＝－，π<α<，得sinα＝－，tanα＝2，又tanβ＝，于是tan(α－β)＝＝＝1.又由π<α<，0<β<可得－<－β<0，<α－β<，因此，α－β＝.法二由cosα＝－，π<α<得sinα＝－.由tanβ＝，0<β<得sinβ＝，cosβ＝.所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝－＝－.又由π<α<，0<β<可得－<－β<0，<α－β<，因此，α－β＝.11.(2016·陕西统一检测)cos·cos·cos＝()A.－B.－C.D.解析cos·cos·cos＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－＝－＝－＝－＝－＝－.答案A12.(2017·上饶调研)设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ－cosαsinβ＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为()A.[－，1]B.[－1，]C.[－1，1]D.[1，]解析∵sinαcosβ－cosαsinβ＝1，∴sin(α－β)＝1，∵α，β∈[0，π]，∴α－β＝，由⇒≤α≤π，∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin＋sin(α－2α＋π)＝cosα＋sinα＝sin，∵≤α≤π，∴≤α＋≤π，∴－1≤sin≤1，即所求的取值范围是[－1，1]，故选C.答案C13.已知cos4α－sin4α＝，且α∈，则cos＝________.解析∵cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝cos2α＝，又α∈，∴2α∈(0，π)，∴sin2α＝＝，∴cos＝cos2α－sin2α＝×－×＝.答案14.(2016·西安模拟)如图，现要在一块半径为1m，圆心角为的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ的面积为S.(1)求S关于θ的函数关系式.(2)求S的最大值及相应的θ角.解(1)分别过P，Q作PD⊥OB于D，QE⊥OB于E，则四边形QEDP为矩形.由扇形半径为1m，得PD＝sinθ，OD＝cosθ.在Rt△OEQ中，OE＝QE＝PD，MN＝QP＝DE＝OD－OE＝cosθ－sinθ，S＝MN·PD＝·sinθ＝sinθcosθ－·sin2θ，θ∈.(2)由(1)得S＝sin2θ－(1－cos2θ)＝sin2θ＋cos2θ－＝sin－，因为θ∈，所以2θ＋∈，sin∈.当θ＝时，Smax＝(m2).
