课时提升作业(十六)抛物线的简单几何性质(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.抛物线x2=-8y的通径为线段AB,O为抛物线的顶点,则AB长是()A.2B.4C.8D.1【解析】选C.由题意|AB|=2p=8.2.(2015·兰州高二检测)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|=()A.6B.8C.9D.10【解析】选B.由题意,p=2,故抛物线的准线方程是x=-1,因为过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,所以|AB|=x1+x2+2,又x1+x2=6,所以|AB|=x1+x2+2=8.3.(2015·阜新高二检测)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,点P为C的准线上一点,则△ABP的面积为()A.18B.24C.36D.48【解析】选C.不妨设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),由于l垂直于对称轴且过焦点,故直线l的方程为x=.代入y2=2px得y=±p,即|AB|=2p,又|AB|=12,故p=6,所以抛物线的准线方程为x=-3,故S△ABP=×6×12=36.4.已知过抛物线y2=6x焦点的弦长为12,则该弦所在直线的倾斜角是()A.或B.或C.或D.【解题指南】设出直线的方程,利用抛物线的定义把弦长为12转化为x1+x2+3=12求解.【解析】选B.抛物线的焦点为.由题意知弦所在直线的斜率存在.设直线方程为y=k,与方程y2=6x联立得:4k2x2-(12k2+24)x+9k2=0.设直线与抛物线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).1所以x1+x2=,所以x1+x2+3=+3=12.所以k2=1,所以k=±1.故弦所在直线的倾斜角是或π.5.(2015·安庆高二检测)设抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A,B两点,则·的值是()A.B.-C.3D.-3【解题指南】直接应用结论“x1x2=,y1y2=-p2”求解.【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题可知p=1,则·=(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2=-p2=-.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·陕西高考)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=.【解题指南】利用抛物线和双曲线的简单性质,以及抛物线方程y2=2px中p的意义可以求解.【解析】双曲线x2-y2=1的左焦点为(-,0),故抛物线y2=2px的准线为x=-,所以=,所以p=2.答案:27.已知直线y=(x-2)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,点F为C的焦点,若=λ(||>||),则λ=.【解析】如图,设AF=n,BF=m,AA1⊥l,BB1⊥l,FN⊥AA1于N,BM⊥x轴于M.则AN=n-4,FM=4-m.2又∠AFN=∠FBM=30°,所以所以所以λ==3.答案:38.(2015·郑州高二检测)过抛物线x2=2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A,B两点,A,B在x轴上的正射影分别为D,C.若梯形ABCD的面积为12,则p=.【解析】依题意,抛物线的焦点F的坐标为,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y-=x,代入抛物线方程得y2-3py+=0,故y1+y2=3p,|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+p=4p,直角梯形ABCD有一个内角为45°.故|CD|=|AB|=×4p=2p,梯形面积为(|BC|+|AD|)×|CD|=×3p×2p=3p2=12,解得p=2.答案:2【补偿训练】已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,|AF|=2,则|BF|=.【解析】因为y2=4x,所以p=2,F(1,0),又因为|AF|=2,所以xA+=2,所以xA+1=2,所以xA=1.即AB⊥x轴,点F为AB的中点,所以|BF|=|AF|=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.求抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离.【解析】设抛物线y=x2上一点P(x0,y0)到直线l:x-y-2=0的距离为d,则d===.3当x0=时,dmin=.【一题多解】由消去y,得x2-x-m=0,令Δ=1+4m=0得m=-,所以切线方程为x-y-=0,所以最短距离为d==.10.抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,且与双曲线实轴垂直,已知抛物线与双曲线的一个交点为A,求抛物线与双曲线的方程.【解析】由题意知,抛物线焦点在x轴上,开口方向向右,可设抛物线方程为y2=2px(p>0),将交点A代入得p=2,故抛物线方程为y2=4x,因为双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),所以双曲线的焦点坐标为F1(-1,0)和F2(1,0),且c=1.又点A也在双曲线上,因此由定义可得2a=|AF1|-|AF2|=-=-=1,所以a=,b==,因此,双曲线的方程为4x2-=1.【补偿训练】等腰直角三角形的直角顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上.若该三角形的斜边长为4,求此抛物线的方程.【解析】如图,设等腰直角三角形OAB的顶点A,B在抛物线上.根据抛物线的性质知A,B关于x轴对称.由题意得A(2,2)在抛物线y2=2px上,所以p=1,抛物线的方程为y2=2x.(20...
