第3章312知能优化训练-(2)VIP免费

1．下列说法正确的是__________．①空间中任意两个向量一定共面；②a，b，c为共面向量，则一定存在λ，μ∈R，使得c＝λa＋μb；③空间五点O，P，A，B，C满足OP＝OA＋OB－OC，则点P、A、B、C共面；④共线向量一定共面，共面向量不一定共线．解析：①对；②错，当a，b共线且都不与c共线时，就不存在λ，μ∈R，使c＝λa＋μb；③由OP＝OA＋OB－OC，得OP－OA＝OB－OC，即AP＝CB，∴AP∥CB，所以点P、A、B、C共面；④对．答案：①③④2．已知空间四点A、B、C、D共面，若对空间中任一点O有xOA＋yOB＋zOC＋PD＝0，则x＋y＋z＝__________.解析：由xOA＋yOB＋zOC＋OD＝0，得OD＝(－x)OA＋(－y)OB＋(－z)OC，∴(－x)＋(－y)＋(－z)＝1.∴x＋y＋z＝－1.答案：－13．下列结论中，正确结论的个数是__________．①若a、b、c共面，则存在实数x、y，使a＝xb＋yc；②若a、b、c不共面，则不存在实数x、y，使a＝xb＋yc；③若a、b、c共面，b、c不共线，则存在实数x、y，使a＝xb＋yc；④若a＝xb＋yc，则a、b、c共面．解析：由共面向量定理可知，②③④均正确，①不正确，如若b，c共线，但a与b、c不共线，则x，y不存在．答案：34．给出下列各式：①OM＝OA＋OB＋OC；②MA＋MB＋MC＝0；③OM＋OA＋OB＋OC＝0.其中能使M与A、B、C一定共面的是__________(填序号)．解析：对于①，＋＋≠1，∴M、A、B、C不共面；对于②，原式可化为MA＝－MB－MC，∴MA、MB、MC共面，进而M、A、B、C四点共面；对于③，同①方法，可知也不能使这四点共面．答案：②一、填空题1．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，OM＝xOA＋OB＋OC，则x的值为__________．解析：由题意知，x＋＋＝1，∴x＝.答案：2．已知O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA＝2x·BO＋3y·CO＋4z·DO，则2x＋3y＋4z＝__________.解析：由A、B、C、D四点共面知OA＝－2x·OB＋(－3y)·OC＋(－4z)·OD，所以－2x－3y－4z＝1，即2x＋3y＋4z＝－1.答案：－13．对于空间任一点O和不共线的三点A、B、C，且有6OP＝OA＋2OB＋3OC，则__________四点必共面．解析：由6OP＝OA＋2OB＋3OC，得OP＝OA＋OB＋OC，所以P、A、B、C四点共面．答案：P、A、B、C4．下列命题中正确的个数是__________．①如果a，b，c共面，b，c，d也共面，则a，b，c，d共面；②已知直线a的方向向量a与平面α平行，即a∥α，则a∥α；③若P、M、A、B共面，则一定存在惟一实数x，y，使MP＝xMA＋yMB；反之，也成立；④对空间任一点O与不共线的A、B、C，若OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x，y，z∈R)，则P、A、B、C共面．解析：①错，如果b，c共线，则a，b，c共面，b，c，d也共面，易知a，b，c，d不一定共面；②错，若a∥α，可能a在平面α内；③错，MP＝xMA＋yMB使P、M、A、B四点共面，其前提是M、A、B不共线；④错，前提是O点与A、B、C不共面．答案：05．以下命题：①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；②共线的两个向量互相平行；③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量．其中正确命题的序号是__________(把所有正确命题的序号都填上)．解析：根据共线向量、共面向量的定义易知②④正确．答案：②④6．已知a，b，c是不共面的三个向量，且实数x，y，z使xa＋yb＋zc＝0，则x2＋y2＋z2＝__________.解析：由共面向量基本定理可知a，b，c不共面时，xa＋yb＋zc＝0必有x＝y＝z＝0，∴x2＋y2＋z2＝0.答案：07．已知空间四边形ABCD，连结AC、BD，设M、G分别是BC、CD的中点，则AB＋(BD＋BC＋DC)＝__________.解析：原式＝AB＋(BD＋BC＋DC)＝AB＋BG＋GC＝AB＋BC＝AC.答案：AC8.如图，已知空间四边形OABC中，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，OG＝xa＋yb＋zc，则x、y、z的值分别为__________．解析：由线段中点的向量表达式，得OG＝OM＋MG＝OM＋MN＝OA＋(MO＋OC＋CN)＝a＋[－a＋c＋(b－c)]＝a－a＋c＋b－c＝a＋b＋c，∴x＝，y＝，z＝.答案：，，二、解答题9．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1和A1D1的中点．证明向量A1B、B1C、EF是共面向量．证明：如图，EF＝EB＋BA1＋A1F...