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高中数学 第三章 圆锥曲线的方程 3.3.2 抛物线的简单几何性质课时分层作业(含解析)新人教A版选择性必修第一册-新人教A版高二选择性必修第一册数学试题VIP免费

高中数学 第三章 圆锥曲线的方程 3.3.2 抛物线的简单几何性质课时分层作业(含解析)新人教A版选择性必修第一册-新人教A版高二选择性必修第一册数学试题_第1页
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课时分层作业(二十六)(建议用时:40分钟)一、选择题1.若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为()A.B.C.D.B[设点P的坐标为(a2,a),依题意可知抛物线的准线方程为x=-,则a2+=,解得a=±,故点P的坐标为.]2.抛物线y2=2px过点A(2,4),F是其焦点,又定点B(8,-8),那么|AF|∶|BF|=()A.1∶4B.1∶2C.2∶5D.3∶8C[将点A(2,4)的坐标代入y2=2px,得p=4,∴抛物线方程为y2=8x,焦点F(2,0),已知,B(8,-8),∴===.]3.过点(2,4)的直线与抛物线y2=8x只有一个公共点,这样的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条B[点(2,4)在抛物线y2=8x上,则过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点,故选B.]4.过点(1,0)作斜率为-2的直线,与抛物线y2=8x交于A,B两点,则弦AB的长为()A.2B.2C.2D.2B[设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意知AB的方程为y=-2(x-1),即y=-2x+2.由得x2-4x+1=0,∴x1+x2=4,x1·x2=1.∴|AB|====2.]5.若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A,B两个不同的点,抛物线的焦点为F,且|AF|,4,|BF|成等差数列,则k=()A.2或-1B.-1C.2D.1±C[设A(x1,y1),B(x2,y2).由消去y,得k2x2-4(k+2)x+4=0,故Δ=16(k+2)2-16k2=64(1+k)>0,解得k>-1,且x1+x2=.由|AF|=x1+=x1+2,|BF|=x2+=x2+2,且|AF|,4,|BF|成等差数列,得x1+2+x2+2=8,得x1+x2=4,所以=4,解得k=-1或k=2,又k>-1,故k=2.]二、填空题6.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=________.16[因为抛物线x2=2py的准线y=-和双曲线-=1相交交点横坐标为x=±,∴由等边三角形得2×=p,解得p=6.]7.直线y=x-1被抛物线y2=4x截得的线段的中点坐标是________.(3,2)[将y=x-1代入y2=4x,整理,得x2-6x+1=0.由根与系数的关系,得x1+x2=6,=3,∴===2.∴所求点的坐标为(3,2).]8.抛物线y2=4x上的点到直线x-y+4=0的最小距离为________.[设与直线x-y+4=0平行且与抛物线y2=4x相切的直线方程为x-y+m=0.由得x2+(2m-4)x+m2=0,则Δ=(2m-4)2-4m2=0,解得m=1,即直线方程为x-y+1=0,直线x-y+4=0与直线x-y+1=0的距离为d==.即抛物线y2=4x上的点到直线x-y+4=0的最小距离为.]三、解答题9.已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(2,-4).(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程;(2)若点B(0,2),求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程.[解](1)由抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(2,-4),可得16=4p,解得p=4.所以抛物线C的方程为y2=8x,其准线方程为x=-2.(2)①当直线l的斜率不存在时,x=0符合题意.②当直线l的斜率为0时,y=2符合题意.③当直线l的斜率存在且不为0时,设直线l的方程为y=kx+2.由得ky2-8y+16=0.由Δ=64-64k=0,得k=1,故直线l的方程为y=x+2,即x-y+2=0.综上直线l的方程为x=0或y=2或x-y+2=0.10.已知抛物线C:y2=4x,过点(-1,0)的直线与抛物线C相切,设第一象限的切点为P.(1)求点P的坐标;(2)若过点(2,0)的直线l与抛物线C相交于两点A,B,圆M是以线段AB为直径的圆过点P,求直线l的方程.[解](1)由题意知可设过点(-1,0)的直线方程为x=ty-1.联立得:y2-4ty+4=0,又因为直线与抛物线相切,则Δ=0,即t=±1.当t=1时,直线方程为y=x+1,则联立得点P坐标为(1,2).(2)设直线l的方程为:x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2),联立得:y2-4my-8=0,则Δ>0恒成立,y1y2=-8,y1+y2=4m,则x1x2==4,x1+x2=m(y1+y2)+4=4m2+4.由于圆M是以线段AB为直径的圆过点P,则PA·PB=0,2x1x2-(x1+x2)+1+y1y2-2(y1+y2)+4=0,4m2+8m+3=0,则m=-或m=-.则直线l的方程为y=-2x+4或y=-x+.11.(多选题)经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则下列说法中正确的是()A.当AB与x轴垂直时,|AB|最小B.+=C.以弦AB为直径的圆与直线x=-相离D.y1y2=-p2ABD[过抛物线焦点的直线与...

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