课时分层作业(二十六)(建议用时：40分钟)一、选择题1．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A．B．C．D．B[设点P的坐标为(a2，a)，依题意可知抛物线的准线方程为x＝－，则a2＋＝，解得a＝±，故点P的坐标为.]2．抛物线y2＝2px过点A(2,4)，F是其焦点，又定点B(8，－8)，那么|AF|∶|BF|＝()A．1∶4B．1∶2C．2∶5D．3∶8C[将点A(2,4)的坐标代入y2＝2px，得p＝4，∴抛物线方程为y2＝8x,焦点F(2,0)，已知，B(8，－8)，∴＝＝＝.]3．过点(2,4)的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条B[点(2,4)在抛物线y2＝8x上，则过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点，故选B.]4．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为()A．2B．2C．2D．2B[设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意知AB的方程为y＝－2(x－1)，即y＝－2x＋2.由得x2－4x＋1＝0，∴x1＋x2＝4，x1·x2＝1.∴|AB|＝＝＝＝2.]5．若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，抛物线的焦点为F，且|AF|,4，|BF|成等差数列，则k＝()A．2或－1B．－1C．2D．1±C[设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，故Δ＝16(k＋2)2－16k2＝64(1＋k)＞0，解得k＞－1，且x1＋x2＝.由|AF|＝x1＋＝x1＋2，|BF|＝x2＋＝x2＋2，且|AF|，4，|BF|成等差数列，得x1＋2＋x2＋2＝8，得x1＋x2＝4，所以＝4，解得k＝－1或k＝2，又k＞－1，故k＝2.]二、填空题6．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.16[因为抛物线x2＝2py的准线y＝－和双曲线－＝1相交交点横坐标为x＝±，∴由等边三角形得2×＝p，解得p＝6.]7．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________．(3,2)[将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3，∴＝＝＝2.∴所求点的坐标为(3,2)．]8．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为________．[设与直线x－y＋4＝0平行且与抛物线y2＝4x相切的直线方程为x－y＋m＝0.由得x2＋(2m－4)x＋m2＝0，则Δ＝(2m－4)2－4m2＝0，解得m＝1，即直线方程为x－y＋1＝0，直线x－y＋4＝0与直线x－y＋1＝0的距离为d＝＝.即抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为.]三、解答题9．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(2，－4)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)若点B(0,2)，求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．[解](1)由抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(2，－4)，可得16＝4p，解得p＝4.所以抛物线C的方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2.(2)①当直线l的斜率不存在时，x＝0符合题意．②当直线l的斜率为0时，y＝2符合题意．③当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y＝kx＋2.由得ky2－8y＋16＝0.由Δ＝64－64k＝0，得k＝1，故直线l的方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0.综上直线l的方程为x＝0或y＝2或x－y＋2＝0.10．已知抛物线C：y2＝4x，过点(－1,0)的直线与抛物线C相切，设第一象限的切点为P.(1)求点P的坐标；(2)若过点(2,0)的直线l与抛物线C相交于两点A，B，圆M是以线段AB为直径的圆过点P，求直线l的方程．[解](1)由题意知可设过点(－1,0)的直线方程为x＝ty－1.联立得：y2－4ty＋4＝0，又因为直线与抛物线相切，则Δ＝0，即t＝±1.当t＝1时，直线方程为y＝x＋1，则联立得点P坐标为(1,2)．(2)设直线l的方程为：x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得：y2－4my－8＝0，则Δ＞0恒成立，y1y2＝－8，y1＋y2＝4m，则x1x2＝＝4，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝4m2＋4.由于圆M是以线段AB为直径的圆过点P，则PA·PB＝0，2x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0，4m2＋8m＋3＝0，则m＝－或m＝－.则直线l的方程为y＝－2x＋4或y＝－x＋.11．(多选题)经过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列说法中正确的是()A．当AB与x轴垂直时，|AB|最小B．＋＝C．以弦AB为直径的圆与直线x＝－相离D．y1y2＝－p2ABD[过抛物线焦点的直线与...
