第3章311知能优化训练-(2)VIP免费

1．给出下列命题：①将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b；③若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向．其中假命题的个数是__________．解析：只有③正确．答案：42．化简：(AB－CD)－(AC－BD)＝__________.解析：法一：将向量减法转化为向量加法进行化简．(AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD＝AB＋DC＋CA＋BD＝(AB＋BD)＋(DC＋CA)＝AD＋DA＝0.法二：利用AB－AC＝CB，DC－DB＝BC进行化简．(AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD＝(AB－AC)＋(DC－DB)＝CB＋BC＝0.法三：利用MN＝ON－OM的关系进行化简．设O为平面内任意一点，则有(AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD＝(OB－OA)－(OD－OC)－(OC－OA)＋(OD－OB)＝OB－OA－OD＋OC－OC＋OA＋OD－OB＝0.答案：03．四边形ABCD中，O为空间任意一点，且AO＋OB＝DO＋OC，则四边形ABCD是__________．解析：由AO＋OB＝DO＋OC，有AB＝DC，故有ABDC，则四边形ABCD是平行四边形．答案：平行四边形4.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则向量D1B可用a，b，c表示为__________．解析：如图，D1B＝－BD1＝－(BA＋BC＋BB1)＝AB－BC－BB1＝AB－AD－AA1＝a－b－c.答案：a－b－c一、填空题1.如图，四棱柱的上底面ABCD中，AB＝DC，下列向量相等的一组是__________．(1)AD与CB；(2)OA与DC；(3)AC与DB；(4)DO与OB.解析： AB＝DC，∴|AB|＝|DC|，且AB∥DC.即四边形ABCD为平行四边形，由平行四边形的性质知DO＝OB.答案：(4)2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量AC1的共有__________个．①(AB＋BC)＋CC1；②(AA1＋A1D1)＋D1C1；③(AB＋BB1)＋B1C1；④(AA1＋A1B1)＋B1C1.解析：根据向量加、减法则以及正方体的性质逐一进行判断．①(AB＋BC)＋CC1＝AC＋CC1＝AC1；②(AA1＋A1D1)＋D1C1＝AD1＋D1C1＝AC1；③(AB＋BB1)＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1.④(AA1＋A1B1)＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1.∴四个式子的运算结果均为AC1.答案：43.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则下列向量中与B1M相等的向量是__________(填序号)．①－a＋b＋c；②a＋b＋c；③a－b＋c；④－a－b＋c.解析：B1M＝B1B＋BM＝B1B＋BD＝B1B＋(BA＋BC)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c.答案：①4.如图，空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则MN等于__________．解析：MN＝ON－OM＝(OB＋OC)－OA＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c.答案：－a＋b＋c5．在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足BD＝2DC，则AD＝__________(用b，c表示)．解析：如图，在△ABC中，AD＝AB＋BD.又BD＝2DC，∴BD＝BC. BC＝AC－AB＝b－c，∴AD＝AB＋BC＝c＋(b－c)＝b＋c.答案：b＋c6.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若CA＝a，CB＝b，CC1＝c，则A1B＝__________.解析：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1CC1，∴AA1＝CC1＝c.又AB＝CB－CA＝b－a.∴A1B＝AB－AA1＝CB－CA－CC1＝b－a－c＝－a＋b－c.答案：－a＋b－c7．已知点M是△ABC的重心，则MA＋MB＋MC＝__________.解析：设D为AB的中点，则MA＋MB＝2MD，又M为△ABC的重心，则MC＝－2MD，所以MA＋MB＋MC＝0.答案：08.如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1，若EF＝xAB＋yAD＋zAA，则x＋y＋z＝__________.解析：在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，有AA1＝BB1＝CC1，于是EF＝AF－AE＝(AD＋DF)－(AB＋BE)＝－AB＋AD＋DD1－BB1＝－AB＋AD＋AA1，又EF＝xAB＋yAD＋zAA1，∴x＝－1，y＝1，z＝.∴x＋y＋z＝.答案：二、解答题9.如图，在空间四边形A－BCD中，点M、G分别是BC、CD的中点．化简：(1)AB＋(BC＋BD)；(2)AG－(AB＋AC)．解：(1)原式＝AB＋BM＋MG＝AG；(2)原式＝AB＋BM＋MG－(AB＋AC)＝BM＋MG＋(AB－AC)＝BM＋MG＋MB＝MG.10．已知四面体ABCD中，G为△BCD的重心，E、F、H分别为边CD、AD和BC的中点，化简下列各式．(1)AG＋BE＋CA；(2)(AB＋AC－AD)．解：(1)如图所示，由G是△BCD的重心知，GE＝BE.又E、F为中点，因此E...