1.4生活中的优化问题举例课时跟踪检测一、选择题1．将8分成两个非负数之和，使这两个数中一个数的立方与另一个数的平方之和最小，则这个最小值等于()A．44B．80C．52D.50解析：设其中一个数为x，则另一个数为8－x，且0≤x≤8，则y＝x3＋(8－x)2＝x3＋x2－16x＋64，y′＝3x2＋2x－16，令y′＝0.解得x＝2或x＝－(舍)，且当0≤x≤2时，y′≤0，当2≤x≤8时，y′≥0，故当x＝2时，y取最小值44.答案：A2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D.7万件解析： y＝－x3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81.令y′＝0，得x＝9或x＝－9(舍)．又当0＜x＜9时，y′＞0，当x＞9时，y′＜0，∴x＝9时，y取得最大值．故选C.答案：C3．(2019·清水六中高二月考)要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为()A.cmB．cmC.cmD.cm解析：设圆锥的高为xcm，则底面半径为cm.其体积为V＝πx(202－x2)(0
0；当0，∴r＝是其唯一的极值点．∴当r＝时，V取得最大值，最大值为3π.答案：A6．某厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为()A．32米，16米B．30米，15米C．40米，20米D.36米，18米解析：设新建堆料场与原墙平行的一边长为x米，其他两边长为y米，则xy＝512，新建围墙的长l＝x＋2y＝＋2y(y＞0)，令l′＝－＋2＝0，解得y＝16(另一负根舍去)，当0＜y＜16时，l′＜0；当y＞16时，l′＞0；所以当y＝16时，函数取得极小值，也就是最小值，此时x＝＝32.答案：A二、填空题7．周长为20cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm3.解析：设矩形的长为xcm，则宽为(10－x)cm(0＜x＜10)．由题意可知圆柱体积为V＝πx2(10－x)＝10πx2－πx3.∴V′＝20πx－3πx2，令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝，且当x∈时，V′(x)>0，当x∈时，V′(x)<0，∴当x＝时，V(x)max＝πcm3.答案：π8．已知某工厂生产x件产品的成本为C＝25000＋200x＋x2(元)，则当平均成本最低时，x＝________件．解析：设平均成本为y元，则y＝＝＋＋200≥2＋200.当且仅当＝，即x＝1000时等号成立．答案：10009．为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a米，高为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a＝________，b＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)．解析：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y＝，其中k(k>0)为反比例系数．2依题意，即所求的a，b值使y值最小，根据题设，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)，得b＝.于是y＝＝＝(0
