高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4 抛物线 2.4.2 第1课时 抛物线的简单几何性质达标练习（含解析）新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP免费

抛物线的简单几何性质A级基础巩固一、选择题1．抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝()A．1B．2C．4D．6答案：B2．以抛物线y2＝2px(p＞0)的焦半径|PF|为直径的圆与y轴的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．以上三种均有可能答案：B3．过抛物线y2＝2px的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，若A，B在准线上的射影为A1，B1，则∠A1FB1＝()A．90°B．45°C．30°D．60°答案：A4．已知点P(x0，y0)在抛物线W：y2＝4x上，且点P到抛物线W的准线的距离与点P到x轴的距离相等，则x0的值为()A.B．1C.D．2答案：B5．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝()A.B．1C.D．2解析：因为抛物线方程是y2＝4x，所以F(1，0)．又因为PF⊥x轴，所以P(1，2)，把P点坐标代入曲线方程y＝(k>0)，即＝2，所以k＝2.答案：D二、填空题16．已知点F为抛物线y2＝4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为________．解析：由抛物线定义得：xA＋1＝5，xA＝4，又点A位于第一象限，因此yA＝4，从而kAF＝＝.答案：7．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________．解析：由y2＝4x知，抛物线的焦点F(1，0)，当x＝1时，y＝±2，所以A(1，2)，B(1，－2)，此时AB⊥x轴，所以|BF|＝|AF|＝2.答案：28．已知定点A(－3，0)，B(3，0)，动点P在抛物线y2＝2x上移动，则PA·PB的最小值等于________．解析：设P(x，y)，则y2＝2x，由A(－3，0)，B(3，0)得PA·PB＝AP·BP＝(x＋3，y)·(x－3，y)＝x2＋y2－9＝x2＋2x－9＝(x＋1)2－10(x≥0)，所以当x＝0时，(PA·PB)min＝－9.答案：－9三、解答题9．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则称AB为抛物线的焦点弦．求证：(1)y1y2＝－p2；x1x2＝；(2)＋＝.证明：(1)如图所示．抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，准线方程：x＝－.设直线AB的方程为x＝ky＋，2把它代入y2＝2px，化简，得y2－2pky－p2＝0.所以y1y2＝－p2，所以x1x2＝·＝＝＝.(2)根据抛物线定义知|FA|＝|AA1|＝x1＋，|FB|＝|BB1|＝x2＋，所以＋＝＋＝＋＝＝＝＝.10．直角三角形的直角顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，且一直角边的方程是y＝2x，斜边长是5，求此抛物线的方程．解：如图，设直角三角形为AOB，直角顶点为O，AO边的方程为y＝2x，则OB边的方程为y＝－x.由得A点坐标为.由得B点坐标为(8p，－4p)．因为|AB|＝5，所以＝5.因为p>0，解得p＝，所以所求抛物线方程为y2＝x.B级能力提升1．已知椭圆E的中心为坐标原点，长轴的长为8，椭圆E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，抛物线C的准线与椭圆E交于A，B两点，则|AB|＝()A．12B．9C．6D．3解析：由题意知，2a＝8，故a＝4，抛物线C：y2＝8x的焦点为(2，0)，准线为x＝－2，故c＝2，b2＝12，故椭圆方程为＋＝1，故联立方程得解3得x＝－2，y＝±3，故A(－2，3)，B(－2，－3)，故|AB|＝6.答案：C2．设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比＝________．解析：如图过A，B作准线x＝－的垂线，垂足为A1，B1，＝，又因为△B1BC∽△A1AC，所以＝.由抛物线的定义可知＝＝，由|BF|＝|BB1|＝2，知xB＝，yB＝－，lAB：y－0＝(x－)，代入x＝，解得xA＝2，yA＝2，所以|AF|＝|AA1|＝，所以＝＝.答案：3．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．解：椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上，所以抛物线的对称轴为x轴．所以设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)．因为抛物线的焦点到顶点的距离为3，即＝3，所以p＝6.所以抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，其准线方程分别为x＝－3或x＝3.4