三平面与圆锥面的截线1.(2016·陕西西安高二检测)一个平面去截一个球面,其截线是()A.圆B.椭圆C.点D.圆或点解析当截面与球相切时,其截线是切点,相交时截线是圆.答案D2.(2016·辽宁大连高二检测)平面与圆锥轴线的夹角为30°,与圆锥面交线的离心率为√3.设则圆锥母线与轴线的夹角为()A.60°B.45°C.30°D.无法确定解析由题意β=30°,e=√3.设所求角为α.由于e=cosβcosα,故cosα=cos30°√3=12,所以α=60°.答案A3.在圆锥内部嵌入Dandelin双球,一个位于平面π的上方,一个位于平面π的下方,并且与平面π及圆锥均相切,若平面π与双球的切点不重合,则平面π与圆锥面的截线是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析由于平面π与双球的切点不重合,则平面π与圆锥母线不平行,且只与圆锥的一半相交,则截线是椭圆.答案B4.下列说法不正确的是()A.圆柱面的母线与轴线平行B.圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面C.圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关,只与母线和斜线面的夹角有关D.平面截圆柱面的截线椭圆中,短轴长即为圆柱面的半径解析显然A正确,由于任一轴面过轴线,故轴面与圆柱的直截面垂直,B正确,C显然正确,D中短轴长应为圆柱面的直径长,故不正确.答案D5.导学号19110058(2016·安徽合肥高二检测)1如图所示,圆锥SO的轴截面△SAB是边长为4的正三角形,M为母线SB的中点,过直线AM作平面β⊥面SAB,设β与圆锥侧面的交线为椭圆C,则椭圆C的短半轴长为()A.√2B.√3C.√22D.√32解析过椭圆C作平行于圆锥底面的截面(圆形),交AS,BS于R,T,交椭圆C于两点P,Q,则P,Q即是椭圆短半轴顶点,在所作的圆中,RT为直径,因为轴截面△SAB是边长为4的正三角形,C为AM的中点,所以TC=12AB=2,RC=14AB=1.因为PQ⊥RT,所以PC=CQ,由相交弦定理可得PC·CQ=TC·RC,所以PC=√2,故椭圆C的短半轴长为√2.答案A6.在圆锥内部嵌入Dandelin双球,一个位于平面π的上方,一个位于平面π的下方,并且与平面π和圆锥面均相切,则两个切点是所得圆锥曲线的.解析两个切点恰好是圆锥曲线的两个焦点.答案两个焦点7.已知圆锥面的轴截面为等腰直角三角形,用一个与轴线成30°角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时,所截得的截线是.解析圆锥轴截面为等腰直角三角形,则轴线与母线成45°角,又30°<45°,故截线为双曲线.答案:双曲线8.已知圆锥面的母线与轴成40°角,用一个与轴线成40°角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时,所截得的截线是.解析因为圆锥面的母线与轴所成的角和截面与轴所成的角相等,所以截线是抛物线.答案:抛物线9.2已知一圆锥面S的轴线为Sx,轴线与母线的夹角为30°,在轴上取一点O,使SO=3cm,球O与这个锥面相切,求球O的半径和切点圆的半径.解如图所示,OH=12SO=32(cm),HC=OHsin60°=32×√32=3√34(cm).所以球O的半径为32cm,切点圆的半径为3√34cm.10.导学号19110059如图所示,已知圆锥母线与轴线的夹角为α,平面π与轴线夹角为β,Dandelin球的半径分别为R,r,且α<β,R>r,求平面π与圆锥面交线的焦距F1F2、轴长G1G2.解连接O1F1,O2F2,O1O2交F1F2于O点,在Rt△O1F1O中,OF1=O1F1tan∠O1OF1=rtanβ.在Rt△O2F2O中,OF2=O2F2tan∠O2OF2=Rtanβ.∴F1F2=OF1+OF2=R+rtanβ.同理,O1O2=R+rsinβ.3连接O1A1,O2A2,过O1作O1H⊥O2A2,在Rt△O1O2H中,O1H=O1O2·cosα=R+rsinβ·cosα.又O1H=A1A2,由切线长定理,容易验证G1G2=A1A2,故G1G2=R+rsinβ·cosα.4
