（新课标）高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 21 简单的三角恒等变换课时作业 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

课时作业21简单的三角恒等变换一、选择题1．化简：·＝()A．－sinαB．－cosαC．sinαD．cosα解析：原式＝＝＝cosα.答案：D2．设α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα的值为()A．2B.C．1D.解析：由已知得cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，所以cosα(cosβ＋sinβ)＝sinα(cosβ＋sinβ)．因为β为锐角，所以sinβ＋cosβ≠0，所以sinα＝cosα，即tanα＝1.答案：C3．若sinθ＝，sinθ－cosθ>1，则sin2θ＝()A．－B．－C．－D.解析：当sinθ－cosθ>1时，cosθ一定是负值，故cosθ＝－，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝－.答案：A4．若α∈，且3cos2α＝sin，则sin2α的值为()A.B．－C.D．－解析：cos2α＝sin＝sin＝2sincos代入原式，得6sincos＝sin，∵α∈，∴cos＝，∴sin2α＝cos＝2cos2－1＝－.答案：D5．cos·cos·cos＝()A．－B．－C.D.解析：cos·cos·cos＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－＝－＝－＝－＝－＝－.答案：A6．定义运算＝ad－bc.若cosα＝，＝，0<β<α<，则β等于()A.B.C.D.解析：依题意有sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)＝，又0<β<α<，∴0<α－β<，故cos(α－β)＝＝，而cosα＝，∴sinα＝，于是sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝.故β＝.答案：D二、填空题7．函数y＝sin2x＋cos2x的最小正周期为________．解析：y＝sin2x＋cos2x＋＝sin＋，所以其最小正周期为＝π.答案：π8．若锐角α、β满足(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，则α＋β＝________.解析：由(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，可得＝，即tan(α＋β)＝.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.答案：9．已知α是第一象限角，sinα＝，tan(β－α)＝－，则tan(β－2α)的值为________．解析：因为α是第一象限角，且sinα＝，所以cosα＝，tanα＝，所以tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝＝－1.答案：－110．已知函数f(x)＝sin2ωx＋sinωx·cosωx，x∈R，f(α)＝－，f(β)＝，若|α－β|的最小值为，则正数ω的值为________．解析：f(x)＝＋sin2ωx＝sin2ωx－cos2ωx＋＝sin＋.又由f(α)＝－，f(β)＝，且|α－β|的最小值为，可知T＝3π，所以ω＝.答案：三、解答题11．已知函数f(x)＝cos2x＋sinxcosx，x∈R.(1)求f的值；(2)若sinα＝，且α∈，求f.解：(1)f＝cos2＋sincos＝＋×＝.(2)因为f(x)＝cos2x＋sinxcosx＝＋sin2x＝＋(sin2x＋cos2x)＝＋sin，所以f＝＋sin＝＋sin＝＋.又因为sinα＝，且α∈，所以cosα＝－，所以f＝＋＝.12．已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)当a∈时，若f(α)＝，求α的值．解：(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x＝cos2xsin2x＋cos4x＝(sin4x＋cos4x)＝sin，所以f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)因为f(a)＝，所以sin＝1.因为α∈，所以4α＋∈.所以4α＋＝.故α＝.1．已知锐角A，B满足2tanA＝tan(A＋B)，则tanB的最大值为()A．2B.C.D.解析：由2tanA＝tan(A＋B)可得2tanA＝，∴2tan2AtanB－tanA＋tanB＝0.∴tanB＝＝，又A为锐角，∴2tanA＋≥2，∴tanB≤，故选D.答案：D2．(2016·广东肇庆检测)已知函数f(x)＝sin(π＋x)·sin－cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若θ∈，f＝，求sin的值．解：(1)f(x)＝sinxcosx－cos2x＝sin2x－＝sin－，所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)由(1)得f＝sin－＝sin－＝cosθ－，由cosθ－＝，得cosθ＝.因为θ∈，所以sinθ＝－.所以sin2θ＝2sinθcosθ＝－，cos2θ＝2cos2θ－1＝.所以sin＝sin2θcos－cos2θsin＝－.3．(2015·天津卷)已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．解：(1)由已知，有f(x)＝－＝－cos2x＝sin2x－cos2x＝sin.所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，f＝－，f＝－，f＝.所以，f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.