高中数学 课时跟踪训练（十七）曲线的交点（含解析）苏教版选修2-1-苏教版高二选修2-1数学试题VIP专享VIP免费

课时跟踪训练(十七)曲线的交点1．曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0与x轴的交点坐标是________．2．曲线x2＋y2＝4与曲线x2＋＝1的交点个数为________．3．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．4．曲线y＝x2－x＋2和y＝x＋m有两个不同的公共点，则实数m的范围是________．5．如果椭圆＋＝1的一条弦被点(4,2)平分，那么这条弦所在直线的方程是________．6．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l与该椭圆交于M、N两点，MN的中点为A(2，－1)，求直线l的方程．7．已知椭圆C1与抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：x3－24y－20－4(1)求C1，C2的标准方程；(2)请问是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交于不同两点M，N且满足OM�⊥ON�？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．8．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．1答案1．解析：当y＝0时，得x2－3x－4＝0，解得x1＝4或x2＝－1.所以交点坐标为(4,0)和(－1,0)．答案：(4,0)，(－1,0)2．解析：由数形结合可知两曲线有4个交点．答案：43．解析：由y2＝8x，得准线方程为x＝－2.则Q点坐标为(－2,0)．设直线y＝k(x＋2)．由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0.若直线l与y2＝8x有公共点，则Δ＝(4k2－8)2－16k4≥0.解得－1≤k≤1.答案：[－1,1]4．解析：由消去y，得x2－2x＋2－m＝0.若有两个不同的公共点，则Δ＝4－4(2－m)>0，∴m>1.答案：(1，＋∞)5．解析：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵P(4,2)为AB中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.又∵A，B在椭圆上，∴x＋4y＝36，x＋4y＝36.两式相减得(x－x)＋4(y－y)＝0，即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴＝＝－.即直线l的斜率为－.∴所求直线方程为x＋2y－8＝0.答案：x＋2y－8＝06．解：(1)由题意2a＝4，∴a＝2，又e＝＝＝，∴c＝.∴b2＝a2－c2＝8－3＝5.故所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)∵点A在椭圆内部，∴过A点的直线必与椭圆有两交点．当直线斜率不存在时，A点不可能为弦的中点，故可设直线方程为y＋1＝k(x－2)，它与椭圆的交点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则消去y得(8k2＋5)x2－16k(2k＋1)x＋8[(2k＋1)2－5]＝0，∴x1＋x2＝，又∵A(2，－1)为弦MN的中点，∴x1＋x2＝4，即＝4，∴k＝，从而直线方程为5x－4y－14＝0.7．解：(1)设抛物线C2：y2＝2px(p≠0)，则有＝2p(x≠0)，据此验证4个点知(3，－2)，(4，－4)在抛物线上，易求C2：y2＝4x.设C1：＋＝1(a>b>0)，把点(－2,0)，代入得解得∴C1的方程为＋y2＝1.(2)容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；当直线l的斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F(1,0)，设其方程为y＝k(x－1)，与C1的交点坐标为M(x1，y1)，N(x2，y2)．由消去y得，(1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－1)＝0，于是x1＋x2＝，x1x2＝.①2所以y1y2＝k(x1－1)·k(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝k2＝－.②由OM�⊥ON�，即OM�·ON�＝0，得x1x2＋y1y2＝0.③将①②代入③式得，－＝＝0，解得k＝±2.所以存在直线l满足条件，且l的方程为：y＝2x－2或y＝－2x＋2.8．解：(1)由题意设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由题意得a＋c＝3，a－c＝1，∴a＝2，c＝1，b2＝3.∴椭圆的标准方程为＋＝1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，∴Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)>0，即3＋4k2－m2>0.∴x1＋x2＝－，x1x2＝.y1y2＝(kx1＋m)·(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0)，kAD·kBD＝－1，∴·＝－1，化简得y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0，即＋＋＋4＝0，化简得7m2＋16mk＋4k2＝0，解得m1＝－2k，m2＝－，且满足3＋4k2－m2>0.当m＝－2k时，l：y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾；当m＝－时，l：y＝k，直线过定点.综上可知，直线l过定点，定点坐标为.34