（新课标）高考数学一轮总复习 考点集训（三十九）第39讲 基本（均值）不等式 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

考点集训(三十九)第39讲基本(均值)不等式对应学生用书p242A组题1．“a＞b＞0”是“ab＜”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]由a＞b＞0得，a2＋b2＞2ab；但由a2＋b2＞2ab不能得到a＞b＞0，故“a＞b＞0”是“ab＜”的充分不必要条件，故选A.[答案]A2．已知x>0，y>0，且x＋2y＝2，则xy()A．有最大值为1B．有最小值为1C．有最大值为D．有最小值为[解析]因为x>0，y>0，x＋2y＝2，所以x＋2y≥2，即2≥2，xy≤，当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝时，等号成立．所以xy有最大值，且最大值为.[答案]C3．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为()A.B．2C．2D．4[解析]因为＋＝，所以a>0，b>0，由＝＋≥2＝2，所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，所以ab的最小值为2.[答案]C4．已知函数f(x)＝(x<－1)，则()A．f(x)有最小值4B．f(x)有最小值－4C．f(x)有最大值4D．f(x)有最大值－4[解析]f(x)＝＝－＝－＝－＝－(x＋1)＋＋2，因为x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0，所以f(x)≥2＋2＝4，当且仅当－(x＋1)＝，即x＝－2时，等号成立．故f(x)有最小值4.[答案]A5．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是()A．3B．4C．5D．6[解析]由题意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，故m＋n的最小值为4.[答案]B6．一艘轮船在航行中的燃油费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃油费是每小时6元．其他与速度无关的费用是每小时96元，则使行驶每公里的费用总和最小时，该轮船的航行速度为__________公里/小时．[解析]设速度为v公里/小时，则公里费用y＝，又k×103＝6，∴k＝，∴y＝v2＋，y＝v2＋＝v2＋＋≥3＝，当且仅当v2＝，即v＝20时取等号．[答案]207．已知正实数a，b满足a＋b＝4，则＋的最小值为________．[解析]∵a＋b＝4，∵a＋1＋b＋3＝8，∴＋＝(a＋1＋b＋3)＝≥(2＋2)＝，当且仅当a＋1＝b＋3，即a＝3，b＝1时取等号，∴＋的最小值为.[答案]8．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lgx＋lgy的最大值；(2)求＋的最小值．[解析](1)∵x>0，y>0，∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．因此有解得此时xy有最大值10.∴u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.∴当x＝5，y＝2时，u＝lgx＋lgy有最大值1.(2)∵x>0，y>0，∴＋＝·＝≥＝，当且仅当＝时，等号成立．由解得∴＋的最小值为.B组题1．已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．[解析]依题意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即的最大值为2.又λ≥，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.[答案]22．已知a>b>0，且ab＝1，那么取最小值时，b＝________．[解析]＝＝(a－b)＋≥2，当且仅当a－b＝时取等号，所以－b＝，解得b＝.[答案]3．函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为________．[解析]y＝loga(x＋3)－1恒过定点A(－2，－1)，由A在直线mx＋ny＋1＝0上，可得－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1.∴＋＝＋＝＋＋4≥2＋4＝8(当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立)．[答案]84．设a>b>c>0，则2a2＋＋－10ac＋25c2的最小值为________．[解析]2a2＋＋－10ac＋25c2＝(a－5c)2＋a2－ab＋ab＋＋＝(a－5c)2＋ab＋＋a(a－b)＋≥0＋2＋2＝4，当且仅当a－5c＝0，ab＝1，a(a－b)＝1时，等号成立，即a＝，b＝，c＝时满足条件．[答案]45．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为________.[解析]据已知不等式得z＝x2－3xy＋4y2，故＝＝＝，据均值不等式得＝≤＝1，当且仅当＝，即x＝2y时取得最大值，此时z＝2y2且＋－＝－＝－＋1≤1，当y＝1时取得最大值1.[答案]16．已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝的最小值为________．[解析]z＝＝xy＋＋＋＝xy＋＋＝＋xy－2，令t＝xy，则0