满分示范课——解析几何【典例】(满分12分)(2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP＝NM.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP·PQ＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.[规范解答](1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0，0)，NP＝(x－x0，y)，NM＝(0，y0)，1分由NP＝NM得x0＝x，y0＝y，3分因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1，因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.5分(2)由题意知F(－1，0)，设Q(－3，t)，P(m，n)，则OQ＝(－3，t)，PF＝(－1－m，－n)，OQ·PF＝3＋3m－tn，7分OP＝(m，n)，PQ＝(－3－m，t－n)，由OP·PQ＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1，9分又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.所以OQ·PF＝0，即OQ⊥PF，11分又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.12分高考状元满分心得1．写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全，如第(1)问，设P(x，y)，M(x0，y0)，N(x0，0)，就得分，第(2)问中求出－3m－m2＋tn－n2＝1就得分．2．写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出x0＝x，y0＝y，没有则不得分；第(2)问一定要写出OQ·PF＝0，即OQ⊥PF，否则不得分，因此步骤才是关键的，只有结果不得分．[解题程序]第一步：设出点的坐标，表示向量NP，NM；第二步：由NP＝NM，确定点P，N坐标等量关系；第三步：求点P的轨迹方程x2＋y2＝2；第四步：由条件确定点P，Q坐标间的关系；第五步：由OQ·PF＝0，证明OQ⊥PF；第六步：利用过定点作垂线的唯一性得出结论．[跟踪训练]已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，点A在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当该直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足PM＝NQ？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．解：(1)设椭圆C的焦距为2c，则c＝1，因为A在椭圆C上，所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝2，则a＝，b2＝a2－c2＝1.故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)不存在满足条件的直线，理由如下：设直线的方程为y＝2x＋t，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，由消去x得9y2－2ty＋t2－8＝0，所以y1＋y2＝，且Δ＝4t2－36(t2－8)＞0，故y0＝＝，且－3＜t＜3.由PM＝NQ得＝(x1－x2，y4－y2)，所以有y1－＝y4－y2，y4＝y1＋y2－＝t－.又－3＜t＜3，所以－＜y4＜－1，与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1，1]矛盾．因此不存在满足条件的直线．
