课时跟踪检测(十一)双曲线的参数方程抛物线的参数方一、选择题1．曲线(t为参数)的焦点坐标是()A．(1,0)B．(0,1)C．(－1,0)D．(0，－1)解析：选B将参数方程化为普通方程(y－1)2＝4(x＋1)，该曲线为抛物线y2＝4x向左、向上各平移一个单位得到，所以焦点为(0,1)．2．圆锥曲线(θ是参数)的焦点坐标是()A．(－5,0)B．(5,0)C．(±5,0)D．(0，±5)解析：选C由(θ为参数)得－＝1，∴它的焦点坐标为(±5,0)．3．方程(t为参数)的图形是()A．双曲线左支B．双曲线右支C．双曲线上支D．双曲线下支解析：选B∵x2－y2＝e2t＋2＋e－2t－(e2t－2＋e－2t)＝4.且x＝et＋e－t≥2＝2.∴表示双曲线的右支．4．点Μ0(0,2)到双曲线x2－y2＝1的最小距离(即双曲线上任一点Μ与点Μ0的距离的最小值)是()A．1B．2C.D．3解析：选C∵双曲线方程为x2－y2＝1，∴a＝b＝1.∴双曲线的参数方程为(θ为参数)．设双曲线上一动点为Μ(secθ，tanθ)，则2＝sec2θ＋(tanθ－2)2＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tanθ＋4)＝2tan2θ－4tanθ＋5＝2(tanθ－1)2＋3.当tanθ＝1时，2取最小值3，此时有＝.二、填空题5．已知动圆方程x2＋y2－xsin2θ＋2y·sin＝0(θ为参数)．则圆心的轨迹方程是________．解析：圆心轨迹的参数方程为即消去参数，得y2＝1＋2x.答案：y2＝1＋2x6．双曲线(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________．解析：将参数方程化为y2－＝1，此时a＝1，b＝，设渐近线倾斜角为α，则tanα＝±＝±.∴α＝30°或150°.答案：30°或150°17．(广东高考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．解析：由(t为参数)得y＝，又由(θ为参数)得x2＋y2＝2.由得即曲线C1与C2的交点坐标为(1,1)．答案：(1,1)三、解答题8．已知圆O1：x2＋(y－2)2＝1上一点P与双曲线x2－y2＝1上一点Q，求P，Q两点距离的最小值．解：由题意可知O1(0,2)，∵Q为双曲线x2－y2＝1上一点，设Q(secθ，tanθ)，在△O1QP中，|O1P|＝1，|O1P|＋|PQ|≥|O1Q|.又|O1Q|2＝sec2θ＋(tanθ－2)2＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tanθ＋4)＝2tan2θ－4tanθ＋5＝2(tanθ－1)2＋3.∴当tanθ＝1，即θ＝时，|O1Q|2取最小值3，此时有|O1Q|min＝.∴|PQ|min＝－1.9．已知双曲线方程为x2－y2＝1，Μ为双曲线上任意一点，点Μ到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数．证明：设d1为点Μ到渐近线y＝x的距离，d2为点Μ到渐近线y＝－x的距离，因为点Μ在双曲线x2－y2＝1上，则可设点Μ的坐标为(secα，tanα)．d1＝，d2＝，d1d2＝＝，故d1与d2的乘积是常数．10．过点A(1,0)的直线l与抛物线y2＝8x交于M，N两点，求线段MN的中点的轨迹方程．解：法一：设抛物线的参数方程为(t为参数)，可设M(8t，8t1)，N(8t，8t2)，则kMN＝＝.又设MN的中点为P(x，y)，则∴kAP＝，由kMN＝kAP知t1t2＝－，又则y2＝16(t＋t＋2t1t2)＝16＝4(x－1)．∴所求轨迹方程为y2＝4(x－1)．法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由M，N在抛物线y2＝8x上知两式相减得y－y＝8(x1－x2)，即(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)，∴＝.设线段MN的中点为P(x，y)，∴y1＋y2＝2y.由kPA＝，又kMN＝＝＝，∴＝.∴y2＝4(x－1)．∴线段MN的中点P的轨迹方程为y2＝4(x－1)．2
