（新课标）高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练1 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

圆锥曲线培优训练11、已知椭圆（a＞b＞0），P为椭圆上除长轴端点外的任一点，F1、F2为椭圆的两个焦点，（1）若，，求证：离心率；（2）若，求证：的面积为。证明：（1）在中，由正弦定理可知，则∴∴（2）在中由余弦定理可知∴∴。1.已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足（1）设为点P的横坐标，证明；（2）求点T的轨迹C的方程；（3）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由．解：（1）设点P的坐标为（x,y）,由P（x,y）在椭圆上，得又由知，所以（2）当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上．当且时，由，得．又，所以T为线段F2Q的中点．在△QF1F2中，，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是（3）C上存在点M（）使S=的充要条件是由③得，由④得所以，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M．当时，，由，，，得2.倾斜角为60°的一束平行光线，将一个半径为的球投影在水平地面上，形成一个椭圆．若以该椭圆的中心为原点，较长的对称轴为x轴，建立平面直角坐标系．（1）求椭圆的标准方程；（2）若球的某一条直径的两个端点在地面上的投影恰好分别落在椭圆边界的A、B两点上，且已知C（－4，0），求CA·CB的取值范围．解答：（1）设椭圆方程是，由题知b=，2a=，a=2所求椭圆的标准方程是．（2）设A（x1,y1），B（x2,y2），A、B关于坐标原点O对称，CA=（x1＋4,y1），CB=（x2＋4,y2），CA·CB=（x1＋4,y1）·（x2＋4,y2）=x1x2＋4(x1＋x2)＋16＋y1y2=x1x2＋16＋y1y2AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程是y=kx，代入椭圆方程得，CA·CB=由于k可以取任意实数，故CA·CB∈[12，13），AB与x轴垂直时，|CA|=|CB|=，cos∠ACB==CA·CB=13，∴CA·CB∈[12，13]．3.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点。（1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率KON；（2）对于椭圆C上任意一点M，试证：总存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立.解：（1）设椭圆的焦距为2c,因为，所以有，故有。从而椭圆C的方程可化为：①易知右焦点F的坐标为（），据题意有AB所在的直线方程为：②由①，②有：③设，弦AB的中点，由③及韦达定理有：所以，即为所求。(2）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立.设，由(1）中各点的坐标,有,所以.又点在椭圆C上，所以有整理为。④由③,有.所以⑤又A﹑B在椭圆上，故有⑥将⑤，⑥代入④可得：。对于椭圆上的每一个点，总存在一对实数，使等式成立，而在直角坐标系中，取点P（），设以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为，显然。也就是:对于椭圆C上任意一点M，总存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。4.设、分别是椭圆的左、右焦点．（1）若是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点的作标；（2）设过定点的直线与椭圆交于同的两点、，且为锐角（其中为作标原点），求直线的斜率的取值范围．解答：（1）易知，，．∴，．设．则，又，联立，解得，．（2）显然不满足题设条件．可设的方程为，设，．联立∴，由，，，得．①又为锐角，∴又∴∴．②综①②可知，∴的取值范围是．7.抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离为8,且点在轴上方过点作轴的垂线,垂足为.(1)求抛物线方程；(2)若过点作,垂足为,试求点坐标;(3)以为圆心为半径作圆，当是轴上一动点,讨论与圆的位置关系.解答：(1)抛物线的准线方程为,由抛物线定义知:到准线的距离为8,∴∴∴.(2) ,由题意得,又∴∴∴的方程为①的方程为②由①②,得，∴(3)因为,所以的方程为.即又 圆的半径为到的距离①当即:或时,和圆相切;②当即:时,和圆相离;③当即:或时,和圆相交.8.已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.（1）证明为定值；（2）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值.解答：(1)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由AF＝λFB，即得(－x1，1－y)＝λ(x2，y2...