1．3.1二项式定理课时跟踪检测一、选择题1．(2x＋)4的展开式中x3的系数是()A．6B．12C．24D．48解析：(2x＋)4的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)4－r()r＝C24－rx4－r，令4－r＝3，得r＝2，则x3的系数为C22＝24.答案：C2．(2019·金考卷命题专家原创卷四)若6展开式中的常数项为60，则展开式中含x－3项的系数为()A．240B．120C．－240D．15解析：6的展开式的通项Tr＋1＝C6－r·(－)r＝(－1)rCa6－r·xr－6，令r－6＝0，解得r＝4，于是(－1)4Ca2＝60，解得a＝±2.再令r－6＝－3，解得r＝2，故展开式中含x－3项的系数为(－1)2Ca4＝240.答案：A3．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝()A．45B．60C．120D．210解析：由题意知f(3,0)＝CC，f(2,1)＝CC，f(1,2)＝CC，f(0,3)＝CC，因此f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝120，选C.答案：C4．对任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为()A．3B．6C．9D．21解析：∵x3＝(x－2＋2)3＝C(x－2)3＋C(x－2)2·2＋C(x－2)·22＋C·23＝8＋12(x－2)＋6(x－2)2＋(x－2)3，∴a2＝6.答案：B5．(2019·广州市高三毕业班综合测试)(2－x3)(x＋a)5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是()A．5B．10C．15D．20解析：在(2－x3)(x＋a)5中，令x＝1，得展开式的各项系数和为(1＋a)5＝32，解得a＝1，故(x＋1)5的展开式的通项Tr＋1＝Cx5－r.当r＝1时，得T2＝Cx4＝5x4，当r＝4时，得T5＝Cx＝5x，故(2－x3)(x＋1)5的展开式中x4的系数为2×5－5＝5，选A.答案：A6．若(1－ax＋x2)4的展开式中x5的系数为－56，则实数a的值为()A．－2B．2C．3D．4解析：解法一：(1－ax＋x2)4＝[(1－ax)＋x2]4，故展开式中x5项为CC(－ax)3x2＋CC(－1ax)(x2)2＝(－4a3－12a)x5，所以－4a3－12a＝－56，解得a＝2.解法二：若a＝－2，则x5的系数不可能为负数，所以排除选项A；若a＝2，则(1－ax＋x2)4＝(1－x)8，则x5的系数为C×(－1)5＝－56，符合题意，故选B.答案：B二、填空题7.8的展开式中x2y2的系数为________．(用数字作答)解析：8展开式的通项公式为Tr＋1＝C8－rr＝(－1)rCx8－ryr－4，令8－r＝2，解得r＝4，此时r－4＝2，所以展开式中x2y2的系数为(－1)4C＝70.答案：708．(2019·浙江卷)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．解析：该二项展开式的第k＋1项为Tk＋1＝C()9－kxk，当k＝0时，第1项为常数项，所以常数项为()9＝16；当k＝1,3,5,7,9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.答案：1659．若x>0，设5的展开式中的第三项为M，第四项为N，则M＋N的最小值为________．解析：T3＝C32＝x，T4＝C·23＝，∴M＋N＝＋≥2＝.答案：三、解答题10．设6的展开式中x3的系数为A，二项式系数为B，求的值．解：设展开式中含x3的项为第r＋1项．则Tr＋1＝Cx6－rr＝(－2)rC.令6－＝3，得r＝2.∴T3＝Cx3(－2)2＝60x3，∴A＝60，B＝C＝15，＝＝4.综上得的值为4.11．求(1－x)6(1＋x)4的展开式中x3的系数．解：解法一：∵(1－x)6的通项Tk＋1＝C(－x)k＝(－1)kCxk，k∈{0,1,2,3,4,5,6}，(1＋x)4的通项Tr＋1＝C·xr，r∈{0,1,2,3,4}，又k＋r＝3，则或或或∴x3的系数为C－CC＋CC－C＝8.解法二：∵(1－x)6(1＋x)4＝[(1－x)(1＋x)]4(1－x)2＝(1－x2)4(1－x)2＝(1－Cx2＋Cx4－Cx6＋Cx8)(1－x)2，∴x3的系数为－C·(－2)＝8.12．利用二项式定理证明：49n＋16n－1(n∈N*)能被16整除．证明：49n＋16n－1＝(48＋1)n＋16n－1＝C·48n＋C·48n－1＋…＋C·48＋C＋16n－1＝C·48n＋C·48n－1＋…＋C·48＋16n，248是可以被16整除的，16n也是可以被整除的，所以C·48n＋C·48n－1＋…＋C·48＋16n可以被16整除．所以49n＋16n－1(n∈N*)能被16整除．13．(2019·郑州市毕业班质量检测)二项式6的展开式中x5的系数为，则dx＝________.解析：Tr＋1＝C(ax)6－rr，令6－r＝5，得r＝1，所以x5的系数为C×a5×答案：3
