【创新设计】（浙江专用）2017版高考数学一轮复习专题探究课五(建议用时：80分钟)1.(2015·浙江卷)已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称.(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).解(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.由消去y，得x2－x＋b2－1＝0.因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0，①将AB中点M代入直线方程y＝mx＋解得b＝－②由①②得m＜－或m＞.(2)令t＝∈∪，则|AB|＝·.且O到直线AB的距离为d＝.设△AOB的面积为S(t)，所以S(t)＝|AB|·d＝≤.当且仅当t2＝时，等号成立.故△AOB面积的最大值为.2.(2015·北京卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点P(0，1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由.解(1)由题意得解得a2＝2，故椭圆C的方程为＋y2＝1.设M(xM，0).因为m≠0，所以－1＜n＜1.直线PA的方程为y－1＝x.所以xM＝，即M.(2)因为点B与点A关于x轴对称，所以B(m，－n).设N(xN，0)，则xN＝.“存在点Q(0，yQ)使得∠OQM＝∠ONQ”，等价于“存在点Q(0，yQ)使得＝”，即yQ满足y＝|xM||xN|.因为xM＝，xN＝，＋n2＝1.所以y＝|xM||xN|＝＝2.1所以yQ＝或yQ＝－.故在y轴上存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ，点Q的坐标为(0，)或(0，－).3.(2016·太原模拟)如图所示，在直角坐标系xOy中，点P到抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线的距离为.点M(t，1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB的中点Q(m，n)在直线OM上.(1)求曲线C的方程及t的值.(2)记d＝，求d的最大值.解(1)y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，∴1－＝，p＝，∴抛物线C的方程为y2＝x.又点M(t，1)在曲线C上，∴t＝1.(2)由(1)知，点M(1，1)，从而n＝m，即点Q(m，m)，依题意，直线AB的斜率存在，且不为0，设直线AB的斜率为k(k≠0).且A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2，故k·2m＝1，所以直线AB的方程为y－m＝(x－m)，即x－2my＋2m2－m＝0.由消去x，整理得y2－2my＋2m2－m＝0，所以Δ＝4m－4m2>0，y1＋y2＝2m，y1y2＝2m2－m.从而|AB|＝·|y1－y2|＝·＝2.∴d＝＝2≤m＋(1－m)＝1，当且仅当m＝1－m，即m＝时，上式等号成立，又m＝满足Δ＝4m－4m2>0.∴d的最大值为1.4.如图，已知椭圆C：＋y2＝1(a>1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切.(1)求椭圆C的方程；(2)若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P、Q两点，且AP·AQ＝0，2求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标.(1)解将圆M的一般方程x2＋y2－6x－2y＋7＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝3，圆M的圆心为M(3，1)，半径r＝.由A(0，1)，F(c，0)(c＝)得直线AF：＋y＝1，即x＋cy－c＝0.由直线AF与圆M相切，得＝.∴c＝或c＝－(舍去).∴a＝，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明由AP·AQ＝0，知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，由A(0，1)可设直线AP的方程为y＝kx＋1，直线AQ的方程为y＝－x＋1(k≠0)，将y＝kx＋1代入椭圆C的方程＋y2＝1并整理得：(1＋3k2)x2＋6kx＝0，解得x＝0或x＝－，因此P的坐标为，即.将上式中的k换成－，得Q.∴直线l的方程为y＝＋，化简得直线l的方程为y＝x－.因此直线l过定点N.5.(2016·南昌模拟)已知圆E：x2＋＝经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线，直线l交椭圆C于M，N两点，且MN＝λOA(λ≠0).(1)求椭圆C的方程；(2)当三角形AMN的面积取到最大值时，求直线l的方程.解(1)如图，圆E经过椭圆C的左、右焦点F1，F2， F1，E，A三点共线，∴F1A为圆E的直径，∴AF1＝×2＝3，AF2⊥F1F2.令y＝0，则x2＋＝，解得x＝±，∴c＝.|AF2|2＝|AF1|2－|F1F2|2＝9－8＝1，2a＝|AF1|＋|AF2|＝4， a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)由(1)得点A的坐标为(，1)，3 MN＝λOA(λ≠0)，∴直线l的斜率为，故设直线l的方程为y＝x＋m，联立方程组消去y得x2＋mx＋m2－2＝0，设M(x1，y1)，N(...
