高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 8 第7讲 正弦定理和余弦定理的应用举例练习 理（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第7讲正弦定理和余弦定理的应用举例[基础题组练]1.如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°解析：选D.由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.2．已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为()A．10kmB．10kmC．10kmD．10km解析：选D.由余弦定理可得：AC2＝AB2＋CB2－2AB×CB×cos120°＝102＋202－2×10×20×＝700.所以AC＝10(km)．3．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于()A．240(－1)mB．180(－1)mC．120(－1)mD．30(＋1)m解析：选C.因为tan15°＝tan(60°－45°)＝＝2－，所以BC＝60tan60°－60tan15°＝120(－1)(m)．4．已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)度的150公里处，以v公里/小时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)度的200公里处，若cosα＝cosβ，则v＝()A．60B．80C．100D．125解析：选C.画出图象如图所示，由余弦定理得(2.5v)2＝2002＋1502＋2×200×150cos(α＋β)①，由正弦定理得＝，所以sinα＝sinβ.又cosα＝cosβ，sin2α＋cos2α＝1，解得sinβ＝，故cosβ＝，sinα＝，cosα＝，故cos(α＋β)＝－＝0，代入①解得v＝100.5．地面上有两座相距120m的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为，且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为()A．50m，100mB．40m，90mC．40m，50mD．30m，40m解析：选B.设高塔高Hm，矮塔高hm，在O点望高塔塔顶的仰角为β.则tanα＝，tan＝，根据三角函数的倍角公式有＝.①因为在两塔底连线的中点O望两塔塔顶的仰角互为余角，所以在O点望矮塔塔顶的仰角为－β，由tanβ＝，tan＝，得＝.②联立①②解得H＝90，h＝40.即两座塔的高度分别为40m，90m.6．一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°，距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则此船航行的速度为________海里/小时．解析：如图，由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.在△PMN中，＝，所以MN＝68×＝34(海里)．又由M到N所用的时间为14－10＝4(小时)，所以此船的航行速度v＝＝(海里/小时)．答案：7.如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A，B的距离是84m，则塔高CD＝________m.解析：设塔高CD＝xm，则AD＝xm，DB＝xm.又由题意得∠ADB＝90°＋60°＝150°，在△ABD中，利用余弦定理，得842＝x2＋(x)2－2·x2cos150°，解得x＝12(负值舍去)，故塔高为12m.答案：128.如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C.测量得到：CD＝2，CE＝2，∠D＝45°，∠ACD＝105°，∠ACB＝48.19°，∠BCE＝75°，∠E＝60°，则A，B两点之间的距离为________.解析：依题意知，在△ACD中，∠DAC＝30°，由正弦定理得AC＝＝2，在△BCE中，∠CBE＝45°，由正弦定理得BC＝＝3.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB＝10，所以AB＝.答案：9．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，求山高MN.解：根据题图，AC＝100m.在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得＝⇒AM＝100m.在△AMN中，＝sin60°，所以MN＝100×＝150(m)．10.如图，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8秒后A，C同时接到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B，C...