专题强化练十空间几何体的三视图、表面积及体积一、选择题1．如图，在正方形ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的正投影可能是()A．①②B．①④C．②③D．②④解析：图①是△PAC在底面上的投影，④是△PAC在前后侧面上的投影．因此正投影可能是①④，选项B正确．答案：B2．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A．60B．30C．20D．10解析：由三视图知可把三棱锥放在一个长方体内部，则三棱锥A1BCD是三视图所示三棱锥，VA1BCD＝××3×5×4＝10.答案：D3．(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥PABCD，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3.答案：C4．中国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的正视图和俯视图如图所示，则该“堑堵”的侧视图的面积为()A．18B．18C．18D.解析：在俯视图Rt△ABC中，作AH⊥BC交于H.由三视图的意义，则BH＝6，HC＝3，根据射影定理，AH2＝BH·HC，所以AH＝3.易知该“堑堵”的侧(左)视图是矩形，长为6，宽为AH＝3，故侧视图的面积S＝6×3＝18.答案：C5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A．πB．2πC．3πD．8π解析：由三视图知，该几何体是一个圆柱挖去一个同底的圆锥．所以该几何体的体积V＝3×π×12－·π×12×3＝2π.答案：B6．(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为()A．12B．18C．24D．54解析：设等边△ABC的边长为x，则x2sin60°＝9，得x＝6.设△ABC外接圆的半径为r，则2r＝，得r＝2.所以球心到△ABC所在平面的距离d＝＝2，则点D到平面ABC的最大距离d1＝d＋4＝6.故V三棱锥DABC的最大值为·S△ABC×6＝×9×6＝18.答案：B二、填空题7．(2018·浙江卷改编)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是________．解析：由三视图知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以其体积V＝×(1＋2)×2×2＝6.答案：68．(2018·济南市模拟)某几何体的三视图如图所示，其中主视图的轮廓是底边为2，高为1的等腰三角形，俯视图的轮廓为菱形，左视图是个半圆．则该几何体的体积为________．解析：由三视图知，几何体是由两个大小相同的半圆锥的组合体．其中r＝1，高h＝.故几何体的体积V＝π×12×＝π.答案：π9．已知长方体ABCDA1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则球O的表面积为________．解析：取BD的中点为O1，连接OO1，OE，O1E，O1A.则四边形OO1AE为矩形，因为OA⊥平面BDE，所以OA⊥EO1，即四边形OO1AE为正方形，则球O的半径R＝OA＝2，所以球O的表面积S＝4π×22＝16π.答案：16π10．(2018·郑州调研)某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知，该几何体是由半个圆柱与个球组成的组合体，其体积为×π×12×3＋××13＝.答案：11．(2018·烟台质检)已知三棱锥PABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为的正三角形，PA，PB，PC两两垂直，则球O的表面积是________．解析：设球O的半径为R，且2R＝.因为△ABC是边长为2的正三角形，PA、PB、PC两两垂直．所以PA＝PB＝PC＝＝1，则2R＝，所以球的表面积S球＝4πR2＝3π.答案：3π三、解答题12．(2018·佛山质检)如图，四棱锥PABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA＝PB，AD∥BC，AB＝AC，AD＝BC＝1，PD＝3，∠BAD＝120°，M为PC的中点．(1)证明：DM∥平面PAB；(2)求四面体MABD的体积．(1)证明：取PB中点N，连接MN、AN.因为M为PC的中点，所以MN∥BC且MN＝BC，又AD∥BC，且AD＝BC，得MN綊AD，所以ADMN为平行四边形，所以DM∥AN.又AN⊂平面PAB，DM⊄平面PAB，所以DM∥平面PAB.(2)解：取AB中点O，连接PO，PO⊥AB.又因为平面PAB⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD，取BC中点H，连结AH，因为AB＝AC，所以AH⊥BC，又因为AD∥BC，∠BAD＝120°，所以∠ABC＝60°，Rt△ABH中，BH＝BC＝1，AB＝2，所以AO＝1，又AD＝1，△AOD中，由余弦定理知，OD＝，Rt△POD中，PO＝＝，所以VMABD＝·S△ABD·PO＝.
