高考数学大一轮复习 课时限时检测（三十一）等比数列-人教版高三全册数学试题VIP免费

课时限时检测(三十一)等比数列(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，则前9项之和等于()A．50B．70C．80D．90【答案】B2．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为()A．2B．4C．8D．16【答案】B3．(2013·课标全国卷Ⅰ)设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则()A．Sn＝2an－1B．Sn＝3an－2C．Sn＝4－3anD．Sn＝3－2an【答案】D4．已知数列{an}，则“an，an＋1，an＋2(n∈N*)成等比数列”是“a＝anan＋2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A5．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且为a4与2a7的等差中项，则S5＝()A．35B．33C．31D．29【答案】C6．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值是()A．－5B．－C．5D.【答案】A二、填空题(每小题5分，共15分)7．若等比数列{an}满足a2a4＝，则a1aa5＝.【答案】8．等比数列{an}的公比q＞0，已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝.【答案】9．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝.【答案】三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)(2013·重庆高考)设数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝3an，n∈N＋.(1)求{an}的通项公式及前n项和Sn；(2)已知{bn}是等差数列，Tn为其前n项和，且b1＝a2，b3＝a1＋a2＋a3，求T20.【解】(1)由题意知{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n－1，Sn＝＝(3n－1)．(2)b1＝a2＝3，b3＝1＋3＋9＝13，b3－b1＝10＝2d，所以公差d＝5，故T20＝20×3＋×5＝1010.11．(12分)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前n项和．【解】(1)设数列{an}的公比为q.由a＝9a2a6得a＝9a，所以q2＝.由条件可知q＞0，故q＝.由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝.故数列{an}的通项公式为an＝.(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.故＝－＝－2，＋＋…＋＝－2＝－.所以数列的前n项和为－.12．(13分)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2，q≠0)．(1)设bn＝an＋1－an(n∈N*)，证明：{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N*，an是an＋3与an＋6的等差中项．【解】(1)证明由题设an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2)，得an＋1－an＝q(an－an－1)，即bn＝qbn－1，n≥2.由b1＝a2－a1＝1，q≠0，所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列．(2)由(1)，a2－a1＝1，a3－a2＝q，…，an－an－1＝qn－2(n≥2)将以上各式相加，得an－a1＝1＋q＋…＋qn－2(n≥2)，即an＝a1＋1＋q＋…＋qn－2(n≥2)．所以当n≥2时，an＝上式对n＝1显然成立．(3)由(2)，当q＝1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q≠1.由a3－a6＝a9－a3可得q5－q2＝q2－q8，由q≠0得q3－1＝1－q6，①整理得(q3)2＋q3－2＝0，解得q3＝－2.于是q＝－.另一方面，an－an＋3＝＝(q3－1)，an＋6－an＝＝(1－q6)．由①可得an－an＋3＝an＋6－an，所以对任意的n∈N*，an是an＋3与an＋6的等差中项．