（新课标）高考数学二轮复习 专题二 数列 第2讲 数列的性质与求和练习 文 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第2讲数列的性质与求和一、选择题1．数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋1＝(2n－λ)an(n＝1，2，…)，则a3等于()A．15B．10C．9D．5解析：选A.由a2＝(2－λ)a1，可得2－λ＝3，解得λ＝－1，所以a3＝(2×2＋1)×3＝15，故选A.2．数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n＋1，bn＝(－1)nan(n∈N*)，则数列{bn}的前50项和为()A．49B．50C．99D．100解析：选A.由题意得，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，当n＝1时，a1＝S1＝3，所以数列{bn}的前50项和为－3＋4－6＋8－10＋…＋96－98＋100＝1＋48＝49，故选A.3．已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝则数列{an}的前20项和为()A．1121B．1122C．1123D．1124解析：选C.由题意可知，数列{a2n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a2n－1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{an}的前20项和为＋10×1＋×2＝1123.故选C.4．已知函数f(x)＝，执行如图所示的程序框图，输出的结果是()A.B.C.D.解析：选B.模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝＋＋…＋的值，可得：S＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝.5．已知等比数列{an}，a1＝1，a4＝，且a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＜k，则k的取值范围是()A.B.C.D.解析：选D.设等比数列{an}的公比为q，q≠0，则q3＝＝，解得q＝，所以an＝，所以anan＋1＝×＝，所以数列{anan＋1}是首项为，公比为的等比数列，所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝＜.因为a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＜k，所以k≥.故k的取值范围是.故选D.6．已知数列{an}满足2a1＋22a2＋…＋2nan＝n(n∈N*)，数列的前n项和为Sn，则S1·S2·S3·…·S10＝()A.B.C.D.解析：选C.因为2a1＋22a2＋…＋2nan＝n(n∈N*)，所以2a1＋22a2＋…＋2n－1an－1＝n－1(n≥2)，两式相减得2nan＝1(n≥2)，a1＝也满足上式，故an＝，故＝＝－，Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，所以S1·S2·S3·…·S10＝×××…××＝，故选C.二、填空题7．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sn＋m(n，m∈N*)且a1＝5，则a8＝________．解析：数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sn＋m(n，m∈N*)且a1＝5，令m＝1，则Sn＋1＝Sn＋S1＝Sn＋5，即Sn＋1－Sn＝5，所以an＋1＝5，所以a8＝5.答案：58．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天织了5尺布，问这女子每天分别织布多少？”根据问题中的条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则该女子所需的天数至少为________天．解析：设该女子第1天织布x尺，则＝5，解得x＝.所以前n天所织布的尺数为(2n－1)．令(2n－1)≥30，则2n≥187，又n∈N*，故n的最小值为8.答案：89．已知函数f(x)＝ax＋1(a＞0，a≠1)的图象过点(3，9)．当n∈N*时，an＝－，若数列{an}的前n项和为，则n的值为____________．解析：设数列{an}的前n项和为Sn，因为函数f(x)＝ax＋1(a＞0，a≠1)的图象过点(3，9)，所以a3＋1＝9，所以a＝2，所以f(x)＝2x＋1，所以an＝＝－，所以Sn＝＋＋…＋＝－.因为数列{an}的前n项和为，所以－＝，解得n＝5.答案：5三、解答题10．(2019·重庆市七校联合考试)已知等差数列{an}的公差为d，且关于x的不等式a1x2－dx－3＜0的解集为(－1，3)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝2＋an，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)由题意知，方程a1x2－dx－3＝0的两个根分别为－1和3.则，解得.故数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(2)由(1)知an＝2n－1，所以bn＝2＋an＝2n＋(2n－1)，所以Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)＝2n＋1＋n2－2.11．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a17＝33，S7＝49.(1)证明：a1，a5，a41成等比数列；(2)求数列{an·3n}的前n项和Tn.解：(1)证明：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由于a17＝33，S7＝49，则解得a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1.则a1＝1，a5＝9，a41＝81，即a＝a1·a41.所以a1，a5，a41成等比数列．(2)由(1)得：an·3n＝(2n－1)·3n，Tn＝1×31＋3×32＋…＋(2n－1)·3n①，3Tn＝1×32＋3×33＋…＋(2n－1)·3n＋1②，①－②得，－2Tn＝3＋2×32＋2×33＋…＋2...