专题检测(三)试卷评析及补偿练习一、转化与化归思想在数列中的应用数列中应用转化与化归思想的常见类型有:(1)错位相减法求和时将问题转化为等比数列的求和问题求解.(2)并项求和时,将问题转化为等差数列求和;(3)分组求和时,将问题转化为能用公式法错位相减法或裂项相消法或并项求和法求和.(4)形如an+1=kan+p(k≠1,p≠0)的数列求通项可转化为等比数列.(5)形如an+1=,an+1-an=kan+1·an(k≠0)的数列求通项可转化为等差数列.在本卷中第10,12,15,18,19均体现了这种思想方法.【跟踪训练】(2015天津卷)已知{an}是各项均为正数的等比数列,{bn}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)设cn=anbn,n∈N*,求数列{cn}的前n项和.二、数列与函数、不等式的交汇问题本卷中第11,12,21均是数列与函数、不等式相结合问题.数列与函数、不等式的交汇问题一般难度较大,还可能涉及导数等知识综合考查,重点考查数列的通项公式,前n项和以及二者的关系,等差、等比数列,不等式的证明、求参数范围等.注意放缩法的应用.【跟踪训练】(2015湖北模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=x(1-x),若数列{an}满足a1=,且an+1=,则f(a11)等于()(A)6(B)-6(C)2(D)-21.对于每一个正整数n,设曲线y=xn+1在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lgxn,则a1+a2+…+a99=.2.已知an=(2x+1)dx,数列{}的前n项和为Sn,数列{bn}的通项公式为bn=n-8,则bnSn的最小值为.3.(2015天津卷)已知数列{an}满足an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(1)求q的值和{an}的通项公式;(2)设bn=,n∈N*,求数列{bn}的前n项和.4.(2015安徽卷)已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设Sn为数列{an}的前n项和,bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.专题检测(三)试卷评析及补偿练习试卷评析一、【跟踪训练】解:(1)设数列{an}的公比为q,数列{bn}的公差为d,由题意知q>0.由已知,有消去d,整理得q4-2q2-8=0.又因为q>0,解得q=2,所以d=2.所以数列{an}的通项公式为an=2n-1,n∈N❋;数列{bn}的通项公式为bn=2n-1,n∈N❋.(2)由(1)有cn=(2n-1)×2n-1,设{cn}的前n项和为Sn,则Sn=1×20+3×21+5×22+…+(2n-3)×2n-2+(2n-1)×2n-1,2Sn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n,上述两式相减,得-Sn=1+22+23+…+2n-(2n-1)×2n=2n+1-3-(2n-1)×2n=-(2n-3)×2n-3,所以,Sn=(2n-3)×2n+3,n∈N❋.二、【跟踪训练】A设x>0,则-x<0,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-[-x(1+x)]=x(1+x).由a1=,且an+1=得a2===2,a3===-1,a4===.a5==2,……所以数列{an}是以3为周期的周期数列,则a11=a2=2.所以f(a11)=f(2)=2×(2+1)=6.故选A.补偿练习1.解析:对y=xn+1求导得y′=(n+1)xn,则曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)·(x-1),令y=0,得xn=,则an=lgxn=lg,所以a1+a2+…+a99=lg(××…×)=lg=-2.答案:-22.解析:an=(x2+x)=n2+n,=-,所以Sn=,所以bnSn===n-9+=n+1+-10≥2-10=-4.当且仅当n=2时取等号.答案:-43.解:(1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即a4-a2=a5-a3,所以a2(q-1)=a3(q-1).又因为q≠1,故a3=a2=2,由a3=a1·q,得q=2.当n=2k-1(k∈N*)时,an=a2k-1=2k-1=;当n=2k(k∈N*)时,an=a2k=2k=,所以{an}的通项公式为an=(2)由(1)得bn==,n∈N*,设{bn}的前n项和为Sn,则Sn=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×,Sn=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×,上述两式相减,得Sn=1+++…+-=-=2--,整理得,Sn=4-,n∈N*.所以,数列{bn}的前n项和为4-,n∈N*.4.解:(1)由题设知a1a4=a2a3=8,又a1+a4=9,可解得或(舍去).设等比数列{an}的公比为q,由a4=a1q3得q=2,故an=a1qn-1=2n-1.(2)Sn==2n-1,又bn===-,所以Tn=b1+b2+…+bn=(-)+(-)+…+(-)=-=1-.
