高考数学解答题双曲线斜率和积与四点共圆含答案VIP免费

双曲线中的斜率和（积）问题x2y2例1.（2022新高考1卷）已知点A(2,1)在双曲线C:22直线l交C于P，1(a1)上，aa1Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．求l的斜率.（2）若tanPAQ22，求PAQ的面积．x2解法1：（设点解点）设直线AP的方程为yk(x2)1，与双曲线C的方程y212222联立，消去y得到(12k)x4k(2k1)x8k8k40，根据韦达定理，得8k28k44k24k22k24k1xAxP，故xP，从而yPk(xP2)1.22212k2k112k因为直线AP、AQ的斜率之和为0，所以直线AQ的方程为yk(x2)1，同理，可4k24k22k24k1得：xQ，yQ.2k2112k22k24k12k24k122yPyQ12k12k1所以直线l的斜率为xPxQ4k24k24k24k22k212k21解法2：设P(x1,y1),Q(x2,y2)，由点P,Q,A都在双曲线C上，得2x12x222222y11,y21，11，所以，结合斜率公式，相减后变形，可得：222kPAy11x2y21x221k，QA.因为直线AP、AQ的斜率之和为0，x122(y11)x222(y21)即kPAkQA，所以，y11x22由得2(y1y2y1y21)(x1x22x12x24).②x122(y21)y21x12由得2(y1y2y2y11)(x1x22x22x14).③x222(y11)由②-③，得y1y2x2x1，从而kPQy1y21，即l的斜率为1.x1x2解法3：（设而不求）将点A代入双曲线方程得2411，化简得a44a240，22aa1x2故双曲线方程为y21，由题显然直线l的斜率存在，设l:ykxm，设P(x1，a2，2y1)Q(x2，y2)，则联立双曲线得：(2k21)x24kmx2m220，故x1x24km，22k1y11y21kx1m1kx2m12m22，kk0，x1x2APAQx12x22x12x222k21化简得：2kx1x2(m12k)(x1x2)4(m1)0，2k(2m22)4km故(m12k)()4(m1)0，2k212k21即(k1)(m2k1)0，当m2k10时，直线l:yk(x2)1过点A，不合题意，舍去.,故k1.方法4.（同构双斜率）设过点A的直线方程为yk(x2)1，直线l的方程为yk0xm，联立解得22kk0k0mkm2k1xxP,yP，代入双曲线C的方程y21中，整理得kk0kk02[42(2k0m)22]k24[(m1)k0(2k0m)k0]k[(m1)24k02]0，这是关于k的一元二次方程，方程的两根k1、k2分别为直线AP、AQ的斜率.因为直线AP、AQ的斜率之和为0，即k1k20，所以(m1)k0(2k0m)k00，整理后分解得(k01)(2k0m1)0.因为直线l不经过点A，所以2k0m1，从而k01，即l的斜率为1.方法5（齐次化联立）双曲线方程为xy21，设Px1,y1,Qx2,y2，22 AP,AQ的斜率之和为0，∴k1k2y11y210，x12x222x22x22故将双曲线方程为y21变形为：y111，22且设直线l:mx2ny11，由式有：x22y14x2y1022x22y14x2y1mx2ny104m1x24n2y14m4nx2y102222y14m4ny14m1024n2,（两边同除以），x22x2x2即4n2k24m4nk4m10，而k1,k2是此方程的两根.∴k1k224n4m1.0mn，故直线l斜率为−4n2方法6：（曲线系）点A处的切线方程为xy10，设直线AP的方程为y1k1(x2)，AQ的方程为y1k2(x2)，PQ的方程ykxb，则过这四条直线交点的二次曲线方程为(kxyb)(xy1)[k1(x1)y1][k2(x1)y1]0.又因为双曲线过这些交点，比较xy的系数得k1(k1k2)0.又由k1k20，所以k1.这样的话，本文就展示了这道题目的6种解法，其实无所谓好坏之分，都是很好的方法，都体现了对运算对象和运算规则较为精准的把握.但是，在考场时间如此紧张的条件下，又快又准的解题却是关键，方法1,3为通法，是多数考生的选择，这样的方法就是套路感强，我们练习的最多，但是过多的沉迷于这...