高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4.1 数学归纳法课后训练 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

4.1数学归纳法课后训练1．设111()12331fnn＝＋＋＋＋－(n∈N＋)，则f(n＋1)－f(n)等于()．A．132n＋B．11331nn＋＋C．113132nn＋＋＋D．11133132nnn＋＋＋＋2．某个命题与正整数有关，若当n＝k(k∈N＋)时该命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得()．A．当n＝6时，该命题不成立B．当n＝6时，该命题成立C．当n＝4时，该命题成立D．当n＝4时，该命题不成立3．设1111()1232fnnnnn＝＋＋＋＋＋＋＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于()．A．121n＋B．122n＋C．112122nn＋＋＋D．112122nn－＋＋4．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________．5．用数学归纳法证明“n∈N＋时，1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，n＝1时，原式＝__________，从k到k＋1时需添加的项是__________．6．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N＋)．7．求证：n棱柱中过侧棱的对角面的个数是f(n)＝12n(n－3)(n∈N＋，n≥4)．8．已知数列{an}满足条件(n－1)an＋1＝(n＋1)(an－1)，且a2＝6，设bn＝an＋n(n∈N＋)．(1)求a1、a3、a4的值；(2)求数列{an}的通项公式．已知点的序列An(xn,0)，n∈N＋，其中x1＝0，x2＝a(a＞0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段An－2An－1的中点，….(1)写出xn与xn－1、xn－2之间的关系式(n≥3)；(2)设an＝xn＋1－xn，计算a1，a2，a3，由此推测数列{an}的通项公式，并加以证明．参考答案1.答案：D1解析：因为111()12331fnn＝＋＋＋＋－.所以111111(1)1233133132fnnnnn＋＝＋＋＋＋＋＋＋－＋＋.所以111(1)()33132fnfnnnn＋－＝＋＋＋＋.2.答案：D解析：利用等价命题，原命题的真假等价于逆否命题的真假，若n＝k＋1时命题不成立，则n＝k时命题不成立，所以n＝4时命题不成立．3.答案：D解析：因为111()122fnnnn＝＋＋＋＋＋，所以11111(1)2322122fnnnnnn＋＝＋＋＋＋＋＋＋＋＋.所以11111(1)212212122fnfnnnnnn＋－＝＋－＝－＋＋＋＋＋.4.答案：f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2解析： f(k)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2，而f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.5.答案：1＋2＋22＋23＋2425k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋46.分析：当n＝k＋1时，左边的项应该增加两项(2k＋1)2－(2k＋2)2.证明：(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)，则当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－2k2－5k－3＝－(k＋1)(2k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，即当n＝k＋1时，等式成立．由(1)(2)可知，对任何n∈N＋，等式成立．7.分析：利用“递推”法，f(k＋1)－f(k)来寻找n＝k＋1比n＝k时增加的对角面的个数．证明：(1)当n＝4时，四棱柱有2个对角面，12×4×(4－3)＝2，命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥4)时命题成立，即符合条件的棱柱的对角面个数是f(k)＝12k(k－3)，现在考虑n＝k＋1的情形，第k＋1条棱Ak＋1Bk＋1与其余和它不相邻的k－2条棱分别增加了1个对角面，共(k－2)个，而面A1B1BkAk变成了对角面，因此对角面的个数变为2f(k)＋(k－2)＋1＝12k(k－3)＋k－1＝12(k2－3k＋2k－2)＝12(k－2)(k＋1)＝12(k＋1)[(k＋1)－3]，即f(k＋1)＝12(k＋1)[(k＋1)－3]．由(1)(2)可知，命题对n≥4，n∈N＋都成立．8.解：(1) (n－1)an＋1＝(n＋1)(an－1)(n∈N＋)，且a2＝6，∴当n＝1时，a1＝1；当n＝2时，a3＝3(a2－1)＝15；当n＝3时，2a4＝4(a3－1)＝56，∴a4＝28.(2)由a2－a1＝5，a3－a2＝9，a4－a3＝13.猜想an＋1－an＝4n＋1，∴an－a1＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)．∴an＝2n2－n(n∈N＋)．下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝2×12－1＝1，故猜想正确．②假设当n＝k时，有ak＝2k2－k(k∈N＋，且k≥1)．∴(k－1)ak＋1＝(k＋1)(ak－1)，(k－1)ak＋1＝(k＋1)(2k2－k－1)．...