第一节平面向量的概念及其线性运算A组基础题组1.已知向量a,b,且⃗AB=a+2b,⃗BC=-5a+6b,⃗CD=7a-2b,则一定共线的三点是()A.B,C,DB.A,B,CC.A,B,DD.A,C,D答案C因为⃗BD=⃗BC+⃗CD=-5a+6b+7a-2b=2a+4b=2(a+2b)=2⃗AB,所以⃗BD,⃗AB共线,又⃗BD,⃗AB有公共点B,所以A,B,D三点共线.2.设平行四边形ABCD的对角线交于点P,则下列命题中正确的个数是()①⃗AC=⃗AB+⃗AD;②⃗AP=12(⃗AB+⃗AD);③⃗DB=⃗AB-⃗AD;④⃗PD=⃗PB.A.1B.2C.3D.4答案C由向量加法的平行四边形法则,知①⃗AC=⃗AB+⃗AD,②⃗AP=12(⃗AB+⃗AD)都是正确的;由向量减法的三角形法则,知③⃗DB=⃗AB-⃗AD是正确的;因为⃗PD,⃗PB的大小相同,方向相反,所以④⃗PD=⃗PB是错误的.3.(2018河北石家庄质量检测(一))在△ABC中,点D在边AB上,且⃗BD=12⃗DA,设⃗CB=a,⃗CA=b,则⃗CD=()A.13a+23bB.23a+13bC.35a+45bD.45a+35b答案B∵⃗BD=12⃗DA,∴⃗BD=13⃗BA,∴⃗CD=⃗CB+⃗BD=⃗CB+13⃗BA=⃗CB+13(⃗CA-⃗CB)=23⃗CB+13⃗CA=23a+13b,故选B.4.已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d,那么()A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向答案D∵c∥d,∴存在实数λ,使得c=λd(λ∈R),即ka+b=λ(a-b),∴{k=λ,λ=-1.∴k=-1,则c=b-a,故c与d反向.5.如图,一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB,AD分别交于E,F两点,且交对角线AC于点K,其中⃗AE=25⃗AB,⃗AF=12⃗AD,⃗AK=λ⃗AC,则λ的值为()A.29B.27C.25D.23答案A因为⃗AE=25⃗AB,⃗AF=12⃗AD,所以⃗AB=52⃗AE,⃗AD=2⃗AF.由向量加法的平行四边形法则可知,⃗AC=⃗AB+⃗AD,所以⃗AK=λ⃗AC=λ(⃗AB+⃗AD)=λ(52⃗AE+2⃗AF)=52λ⃗AE+2λ⃗AF,由E,F,K三点共线,可得52λ+2λ=1,解得λ=29,故选A.6.(2019安徽安庆二模)在△ABC中,点D是边BC上任意一点,M是线段AD的中点,若存在实数λ和μ,使得⃗BM=λ⃗AB+μ⃗AC,则λ+μ=()A.12B.-12C.2D.-2答案B如图,因为点D在边BC上,所以存在t∈R,使得⃗BD=t⃗BC=t(⃗AC-⃗AB).因为M是线段AD的中点,所以⃗BM=12(⃗BA+⃗BD)=12(-⃗AB+t⃗AC-t⃗AB)=-12(t+1)⃗AB+12t⃗AC.又⃗BM=λ⃗AB+μ⃗AC,所以λ=-12(t+1),μ=12t,所以λ+μ=-12.故选B.7.已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d同向,则实数λ的值为.答案1解析由于c与d同向,所以存在实数k,且k>0,使得c=kd,于是λa+b=k[a+(2λ-1)b],整理得λa+b=ka+(2λk-k)b.由于a,b不共线,所以{λ=k,2λk-k=1,整理得2λ2-λ-1=0,所以λ=1或λ=-12.又因为k>0,所以λ>0,故λ=1.8.如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,⃗BC=3⃗EC,F为AE的中点,则⃗BF可用向量⃗AB和⃗AD表示为.答案⃗BF=-23⃗AB+13⃗AD解析⃗BF=⃗BA+⃗AF=⃗BA+12⃗AE=-⃗AB+12(⃗AD+12⃗AB+⃗CE)=-⃗AB+12(⃗AD+12⃗AB+13⃗CB)=-⃗AB+12⃗AD+14⃗AB+16(⃗CD+⃗DA+⃗AB)=-23⃗AB+13⃗AD.9.经过△OAB重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设⃗OP=m⃗OA,⃗OQ=n⃗OB,m,n∈R,求1n+1m的值.解析设⃗OA=a,⃗OB=b,则⃗OG=13(a+b),⃗PQ=⃗OQ-⃗OP=nb-ma,⃗PG=⃗OG-⃗OP=13(a+b)-ma=(13-m)a+13b.由P,G,Q三点共线得,存在实数λ使得⃗PQ=λ⃗PG,即nb-ma=λ(13-m)a+13λb,则{-m=λ(13-m),n=13λ,消去λ,得1n+1m=3.B组提升题组1.如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的三等分点,⃗AB=a,⃗AC=b,则⃗AD=()A.a-12bB.12a-bC.a+12bD.12a+b答案D连接CD,由点C,D是半圆弧的三等分点,得CD∥AB且⃗CD=12⃗AB=12a,所以⃗AD=⃗AC+⃗CD=b+12a.2.若|⃗AB|=|⃗AC|=|⃗AB-⃗AC|=2,则|⃗AB+⃗AC|=.答案2❑√3解析∵|⃗AB|=|⃗AC|=|⃗AB-⃗AC|=2,∴△ABC是边长为2的正三角形,∴|⃗AB+⃗AC|为△ABC的边BC上的高的2倍,∴|⃗AB+⃗AC|=2❑√3.3.(2019陕西铜川质检)已知P为△ABC所在平面内一点,⃗AB+⃗PB+⃗PC=0,|⃗AB|=|⃗PB|=|⃗PC|=2,求△ABC的面积.解析如图,设BC的中点为D,AC的中点为M,则有⃗PB+⃗PC=2⃗PD,因为⃗AB+⃗PB+⃗PC=0,所以有⃗AB=-2⃗PD,又由D为BC的中点,M为AC的中点,得⃗AB=-2⃗DM,则有⃗PD=⃗DM,则P、D、M三点共线,且D为PM的中点,又D为BC的中点,所以四边形CPBM为平行四边形.又由|⃗PB|=|⃗PC|=2,得|⃗MC|=|⃗BP|=2,|⃗MB|=|⃗CP|=2,又M为AC的中点,所以|⃗AM|=|⃗MC|=2,所以|⃗AC|=4,|⃗AB|=|⃗MB|=|⃗AM|,所以△AMB为等边三角形,则∠BAC=60°,则S△ABC=12×2×4×❑√32=2❑√3.4.如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,N是线段OD的中点,AN的延长线与CD交于点E,若⃗AE=m⃗AB+⃗AD,其中,x,y∈R,求实数m的值.解析由N是OD的中点得⃗AN=12⃗AD+12⃗AO=12⃗AD+14(⃗AD+⃗AB)=34⃗AD+14⃗AB.又因为A,N,E三点共线,故⃗AE=λ⃗AN,即m⃗AB+⃗AD=λ(34⃗AD+14⃗AB),所以{m=14λ,1=34λ.解得{m=13,λ=43,故实数m=13.
