课时提升作业(二十)几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知函数f(x)=ex(e是自然对数的底数),则函数f(x)的导函数f′(x)的大致图象为()【解析】选A.因为f(x)=ex,所以f′(x)=ex,底数e大于1的指数函数是R上的增函数,故选A.2.(2015·泉州高二检测)函数f(x)=(2πx)2的导数是()A.f′(x)=4πxB.f′(x)=4π2xC.f′(x)=8π2xD.f′(x)=16πx【解析】选C.因为f(x)=4π2x2,所以f′(x)=8π2x.3.质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s=,则质点在t=4时的速度为()A.B.C.D.【解析】选B.s′=.当t=4时,s′=·=.4.曲线y=xn在x=2处的导数为12,则n=()A.1B.3C.2D.4【解析】选B.y′=nxn-1,因为y′|x=2=12,所以n·2n-1=12.检验知n=3时成立,所以选B.5.(2015·惠州高二检测)设f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,则f2015(x)=()A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx【解题指南】利用基本初等函数的导数公式求出前4个函数,寻找规律求f2015(x).【解析】选D.由题意,f1=cosx,f2=-sinx,1f3=-cosx,f4=sinx,…,f2015(x)=-cosx.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·南京高二检测)曲线y=cosx在点A,处的切线方程为.【解析】因为y′=(cosx)′=-sinx,所以y′=-sin=-,所以在点A处的切线方程为y-=-,即x+2y--=0.答案:x+2y--=07.曲线y=在其上一点P处的切线的斜率为-4,则点P的坐标为.【解析】y′=′=-=-4,x=±,点P的坐标为,.答案:或8.(2015·汉中高二检测)设函数f(x)=logax,f′(1)=-1,则a=.【解析】因为f′(x)=,所以f′(1)==-1.所以lna=-1.所以a=.答案:【补偿训练】函数f(x)=(a∈R),若其导数过点(2,4),则a的值为.【解析】因为f(x)=,所以f′(x)=-,又导数过点(2,4),所以-=4,所以a=-16.答案:-16三、解答题(每小题10分,共20分)9.若曲线y=在点(a,)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,求实数a的值.2【解题指南】表示出过点(a,)的直线,用a表示出三角形的面积,解方程求a.【解析】因为y′=-·,所以y′|x=a=-·,所以在点(a,)处的切线方程为y-=-··(x-a).令x=0,得y=,令y=0,得x=3a,所以×3a×=18,解得a=64.10.(2015·榆林高二检测)已知曲线C:y=x3,(1)求曲线C上点(1,1)处的切线方程.(2)在(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点?【解析】(1)因为y′=3x2,所以切线斜率k=3,所以切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.(2)由所以(x-1)(x2+x-2)=0,所以x1=1,x2=-2,所以公共点为(1,1)及(-2,-8),即其他公共点为(-2,-8).【补偿训练】求过曲线y=sinx上的点P且与在这点处的切线垂直的直线方程.【解析】因为y=sinx,所以y′=(sinx)′=cosx.所以y′=cos=,所以经过这点的切线的斜率为,从而可知适合题意的直线的斜率为-.所以由点斜式得适合题意的直线方程为y-=-(x-),3即x+y--π=0.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·青岛高二检测)若曲线y=x2在点(a,a2)(a>0)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2,则a等于()A.2B.4C.D.【解析】选A.y′=2x,则切线的斜率为2a,所以曲线y=x2在点(a,a2)(a>0)处的切线方程为y-a2=2a·(x-a),即y=2ax-a2.令x=0得y=-a2,令y=0得x=,所以切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为×a2×=2,解得a=2,故选A.2.给出下列函数:①f(x)=;②f(x)=2x;③f(x)=log2x;④f(x)=sinx.则满足关系式f′>f-f>f′的函数的序号是()A.①③B.②④C.①③④D.②③④【解题指南】分别求出相应的导数值,利用函数的单调性比较大小.【解析】选C.①f′(x)=,所以f′=,f-f=,f′=,所以f′>f-f>f′;②f′(x)=2xln2>0,导函数为单调增函数,所以f′
f-f>f′;④f′(x)=cosx,所以f′=cos,f-f=sin-sin,f′=cos,因为cosf-f>f′.【补偿训练】已知f(x)=lnx(x>0),f(x)的导数是f′(x),若a=f(7),b=f′,c=f′,则a,b,c的大小关系是()A.c
